\(3x^2+y^2+4xy=5x+2y+1\)

\(\Leftrightarrow3x^2+x\left(4y-5\right)+\left(y^2-2y-1\right)=0\left(1\right)\)

Coi phương trình (1) là phương trình ẩn x tham số y, ta có:

\(\Delta=\left(4y-5\right)^2-3.4.\left(y^2-2y-1\right)\)

\(=16y^2-40y+25-12y^2+24y+12\)

\(=4y^2-16y+37\)

Để phương trình (1) có nghiệm nguyên thì \(\Delta\) phải là số chính phương hay \(\Delta=4y^2-16y+37=a^2\) (a là số tự nhiên).

\(\Rightarrow4y^2-16y+16+21=a^2\)

\(\Rightarrow a^2-\left(2y-4\right)^2=21\)

\(\Rightarrow\left(a-2y+4\right)\left(a+2y-4\right)=21\)

\(\Rightarrow a-2y+4;a+2y-4\) là các ước số của 21.

Với \(y\ge2\Rightarrow a-2y+4\le a+2y-4\) và \(a+2y-4\ge0\) Lập bảng:

Với \(y\ge2\Rightarrow a-2y+4\le a+2y-4\) và \(a+2y-4\ge0\) Lập bảng:

Với a=11, y=7. Phương trình (1) có 2 nghiệm:

\(x_1=\dfrac{-\left(4.7-5\right)+\sqrt{11^2}}{6}=-2\) (loại vì x>0)

\(x_2=\dfrac{-\left(4.7-5\right)-\sqrt{11^2}}{6}=-\dfrac{17}{3}\left(loại\right)\)

Với \(a=5;y=3\). Phương trình (1) có 2 nghiệm:

\(x_1=\dfrac{-\left(4.3-5\right)+\sqrt{5^2}}{6}=-\dfrac{1}{3}\left(loại\right)\)

\(x_2=\dfrac{-\left(4.3-5\right)-\sqrt{5^2}}{6}=-2\) (loại vì x>0)

Với \(a=5;y=1\). Phương trình (1) có 2 nghiệm:

\(x_1=\dfrac{-\left(4.1-5\right)+\sqrt{5^2}}{6}=1\)

\(x_2=\dfrac{-\left(4.1-5\right)-\sqrt{5^2}}{6}=-\dfrac{2}{3}\left(loại\right)\)

Vậy x,y nguyên dương thỏa mãn phương trình trên là \(x=y=1\)

Dòng 15 từ dưới đếm lên, sửa:

Với \(y< 2\Rightarrow a-2y+4>a+2y-4\) và \(a-2y+4>0\). Lập bảng:

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+2y+1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)

\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2\le4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(y+1\right)^2=0\\\left(y+1\right)^2=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=\left\{-1;-3;1\right\}\)

Thế vào pt ban đầu tìm x nguyên tương ứng

\(x^2+5y^2+2y-4xy-3=0\left(1\right)\\ \Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+2y+1\right)-4=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)

Ta có: \(\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\ge\left(y+1\right)^2\)

Mà \(y\in Z\Rightarrow\left(y+1\right)^2\in Z\Rightarrow\left(y+1\right)^2\in\left\{0;1;4\right\}\)

Với \(\left(y+1\right)^2=0\Rightarrow y+1=0\Rightarrow y=-1\)

Thay y=-1 vào pt (1) ta tìm được \(\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\x=0\end{matrix}\right.\)

Với \(\left(y+1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y+1=1\\y+1=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=-2\end{matrix}\right.\)

Thay y=0 vào pt (1) ta không tìm được x nguyên 

Thay y=-2 vào pt (1) ta không tìm được x nguyên 

Với \(\left(y+1\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y+1=-2\\y+1=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-3\\y=1\end{matrix}\right.\)

Thay y=-3 vào pt (1) tìm được \(x=-6\)

Thay y=1 vào pt (1) tìm được \(x=2\)

\(\Leftrightarrow2x^2-x+1=xy+2y\)

\(\Leftrightarrow2x^2-x+1=y\left(x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{2x^2-x+1}{x+2}=2x-5+\dfrac{11}{x+2}\)

Do y nguyên \(\Rightarrow\dfrac{11}{x+2}\) nguyên \(\Rightarrow x+2=Ư\left(11\right)\)

Mà x nguyên dương \(\Rightarrow x+2\ge3\Rightarrow x+2=11\Rightarrow x=9\)

\(\Rightarrow y=14\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(9;14\right)\)

5x²+2y+y²-4x-40=0

△=(-4)²-4.5.(2y+y²-40)

△=16-40y-20y²+800

△=-(784+40y+20y²)

△=-(32y+8y+16y²+4y²+16+4+764)

△=-[(4y+4)²+(2y+2)²+764]<0

=>PHƯƠNG TRÌNH VÔ NGHIỆM.