(a) \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\Rightarrow\dfrac{x^2-5x+9}{x-3}\in Z\)

Ta có: \(\dfrac{x^2-5x+9}{x-3}\left(x\ne3\right)=\dfrac{x\left(x-3\right)-2\left(x-3\right)+3}{x-3}=x-2+\dfrac{3}{x-3}\)nguyên khi và chỉ khi: \(\left(x-3\right)\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=1\\x-3=-1\\x-3=3\\x-3=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=2\\x=6\\x=0\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn).

Vậy: \(x\in\left\{0;2;4;6\right\}\).

(b) \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\Rightarrow\dfrac{2x^3-x^2+6x+2}{2x-1}\in Z\left(x\ne\dfrac{1}{2}\right)\)

Ta có: \(\dfrac{2x^3-x^2+6x+2}{2x-1}=\dfrac{x^2\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)+5}{2x-1}=x^2+3+\dfrac{5}{2x-1}\)

nguyên khi và chỉ khi: \(\left(2x-1\right)\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-1=1\\2x-1=-1\\2x-1=5\\2x-1=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=0\\x=3\\x=-2\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn).

Vậy: \(x\in\left\{-2;0;1;3\right\}\).

a: f(x) chia hết cho g(x)

=>x^2-3x-2x+6+3 chia hết cho x-3

=>3 chia hết cho x-3

=>x-3 thuộc {1;-1;3;-3}

=>x thuộc {4;2;6;0}

b: f(x) chia hết cho g(x)

=>2x^3-x^2+6x-3+5 chia hết cho 2x-1

=>5 chia hết cho 2x-1

=>2x-1 thuộc {1;-1;5;-5}

=>x thuộc {2;0;3;-2}

Ta có: \(x^2+2x^2+15=3x^2+15\)

Thực hiện phép chia, ta được:

Suy ra để \(x^2+2x^2+15\) chia hết cho x + 3 thì - (9 - y)x + (15 - 3y) = 0

Hay - (9 - y)x = 15 - 3y

Khi đó \(x=\dfrac{15-3y}{-9+y}\) hay \(\left(15-3y\right)⋮\left(-9+y\right)\)

Hay \(\left[\left(15-3y\right)-3\left(-9+y\right)\right]⋮\left(-9+y\right)\)

Hay \(42⋮\left(-9+y\right)\)

Khi đó (-9 + y) ϵ Ư(42) = {1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6; 7; -7; 14; -14; 21; -21; 42; -42}

Xét bảng

Vậy để \(x^2+2x^2+15\) chia hết cho x + 3 thì x ϵ {-15; 9; -9; 3; -7; 1; -5; -1}

c) Ta có: \(P=x^3+y^3+6xy\)

\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+6xy\)

\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y-2\right)\)

\(=2^3=8\)

(2x+3) chia hết cho (x-2)

=> 7 chia hết cho (x-2)

7 chia hết cho 1;7

vậy x = 3;9

Vì x-2 chia hết cho x-2

suy ra 2*(x-2) chia hết cho x-2

suy ra 2x-4 chia hết cho x-2

Mà 2x+3 chia hết cho x-2

suy ra 2x+3-(2x-4) chia hết cho x-2

suy ra 2x+3-2x+4 chia hết cho x-2

suy ra (2x-2x)+(3+4) chia hết cho x-2

suy ra 7 chia hết cho x-2

suy ra x-2 thuộc Ư(7)= {1;7;-1;-7}

suy ra x thuộc {3;9;1;-5}

Thử lại:

Nếu x=3 suy ra 2x+3=9.x-2=1.Mà 9 chia hết cho 1 (chọn)

Nếu x=9 suy ra 2x+3=21.x-2=7.Mà 21 chia hết cho 7 (chọn)

Nếu x=1 suy ra 2x+3=5.x-2=-1.Mà 5 chia hết cho -1 (chọn)

Nếu x=-5 suy ra 2x+3=-7.x-2=-7. Mà -7 chia hết cho -7 (chọn)

Vậy x thuộc {3;9;1;-5}

b: \(\Leftrightarrow2n^2+n-2n-1+3⋮2n+1\)

\(\Leftrightarrow2n+1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;-1;1;-2\right\}\)

(a+1)x²+bx        +3       l  x²+2x-1

(a+1)x²+2(a+1)x-a-1          a+1

________________

           (b-2a-2)x+a+4

Để \(x^2+ax^2+bx+3⋮x^2+2x-1\) thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}b-2a-2=0\\a+4=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-4\\b=-6\end{matrix}\right.\)

a)3x+2 chia hết cho 1-x

3x-3+5 chia hết cho 1-x

-3(1-x)+5 chia hết cho 1-x

=>5 chia hết cho 1-x hay 1-xEƯ(5)={1;-1;5;-5}

=>xE{0;-2;-4;6}

b)6x-1 chia hết cho 2x+3

6x+9-10 chia hết cho2x+3

3(2x+3)-10 chia hết cho 2x+3

=>10 chia hết cho 2x+3 hay 2x+3EƯ(10)={1;-1;2;-2;5;-5;10;-10}

=>2xE{-2;-4;-1;-5;2;-8;7;-13}

=>xE{-1;-2;1;-4}