Cho \(\Delta\)ABC có \(\widehat{A}\) = \(90^o\), \(\widehat{B}>\widehat{C}\). K là trung điểm của BC. Đường trung trực của BC cắt AC tại D. Kẻ AH \(\perp\)BC cắt BD tại E. Chứng minh \(\Delta\)ADE cân
Cho ΔABC có AC > AB. Lấy điểm M à trung điểm của BC. Qua M kẻ đường thẳng d ⊥ BC, đường thẳng d cắt AC tại D.
a, CM: BD = DC
b, Kẻ AH ⊥ d tại H và cắt BC kéo dài tại I, CM: \(\widehat{CAH}=\widehat{DBC}\)
c, CM: ΔABC = ΔICB
d, Biết AB và CI cắt nhau tại N
CM: M, H, N thẳng hàng
Sửa đề: b: Cắt BD kéo dài tại I
a: Xét ΔDBC có
DM vừa là đường cao, vừa là trung tuyến
nên ΔDBC cân tại D
b: AH vuông góc với DM
DM vuông góc với BC
Do đó: AH//BC
=>góc DAI=góc DCB
=>góc CAH=góc DBC
c: Xét ΔDAI có góc DAI=góc DIA
nên ΔDAI cân tại D
=>DA=DI
=>AC=BI
Xét ΔABC và ΔICB có
AB=IC
BC chung
AC=IB
DO đó: ΔABC=ΔICB
Cho ΔABC vuông tại A (AB>AC). Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD=AB, trên tia đối của AB lấy điểm E sao cho DE=BC.
1. Chứng minh ΔABC=ΔADE
2. Chứng minh \(\widehat{AEC}=\widehat{ACE}=45^0\)
3. Đường cao AH của ABC cắt DE tại F. Qua A kẻ đường vuông góc với CF tại G, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh:
a. FK//AB.
b. AF là đường trung tuyến của ΔADE
Bài 1: Cho \(\Delta\)ABC nhọn, đường cao AH. Vẽ D sao cho AB là trung trực của HD. Vẽ E sao cho AC là trung trực của HE. Gọi M là giao điểm của DE với AB, N là giao điểm của DE với AC. Chứng minh:
a, \(\Delta ACE\)cân
b, HA là phân giác của \(\widehat{MHN}\)
Bài 2: Cho \(\Delta\)ABC có \(\widehat{A}\)= 90. Đường trung trực của BC cắt AC tại D biết AD = AB. Tính \(\widehat{B}\widehat{,C}\) của tam giác ABC
Bài 3: Cho \(\Delta\)ABC, \(\widehat{A}\) = 120 độ, phân giác AD. Từ B, kẻ đường thẳng song song AD cắt CA tại E.
a, Chứng minh \(\Delta ABE\)đều
b, So sánh các cạnh của \(\Delta BEC\)
bài này làm được nhưng nhại đánh máy ra.... lên mạng mà search bạn ạ
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat{A}\)= 90 độ, vẽ tia phân giác \(\widehat{C}\) cắt AB ở H. Lấy E \(\in\)BC sao cho CA = CE
a) Chứng minh \(\Delta\)CAH = \(\Delta\)CEH và HE \(\perp\) BC
b) Kẻ EK \(\perp\) AC tại K, EK cắt CH tại I. Chứng minh \(\widehat{HEI}-\widehat{HAI}\)
c) Chứng minh HE // AI và \(\widehat{AIE}-\widehat{ABC}\)= 90 độ
Cho ΔABC có \(\widehat{B}=\widehat{C}\). Tia phân giác của \(\widehat{B}\) cắt AC tại E. Tia phân giác của \(\widehat{C}\) cắt AB tại D.
a, Chứng minh BD=CE, AB=AC
b, Gọi O là giao điểm của BD và CE. Chứng minh ΔOEB=ΔODC
c, Chứng minh OA là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)
d, Kẻ OK⊥AB. Chứng minh AH⊥BC
Sửa đề: Tia phân giác góc B cắt AC tại D. Tia phân giác góc C cắt AB tại E
a: Xét ΔABD và ΔACE có
góc ABD=góc ACE
AB=AC
góc A chung
Do đó: ΔABD=ΔACE
=>BD=CE
b: Xét ΔOEB và ΔODC có
góc EBO=góc DCO
EB=DC
góc OEB=góc ODC
DO đó: ΔEOB=ΔDOC
c: Xét ΔABO và ΔACO có
AB=AC
BO=CO
AO chung
DO đó: ΔABO=ΔACO
=>góc BAO=góc CAO
=>AO là phân giác của tia phân giác của góc BAC
Cho ΔABC vuông tại A, đường phân giác của \(\widehat{B}\) cắt AC tại E. Vẽ EH ⊥ BC (H ∈ BC). Chứng minh
a. ΔABE = ΔHBE
b. BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH
a.Xét △ABE vuông tại A và △HBE vuông tại H có :
BE chung
góc ABE = góc HBE (vì BE là tia phân giác)
=>△ABE = △HBE (cạnh huyền - góc nhọn)
b. Vì △ABE = △HBE (chứng minh trên)
=>AB = HB (2 cạnh tương ứng)
=> △AHB cân tại B
mà BE là tia phân giác của góc ABC (giả thuyết)
nên BE đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
Cho \(\Delta ABC\) cân tại A \(\left(\widehat{A}< 90^o\right)\).Kẻ \(BD\perp AC\) \(\left(D\in AC\right)\),\(CE\perp AB\left(E\in AB\right)\), BD và CE cắt nhau tại H
a) C/m BD=CE
b)C/m \(\Delta BHC\) cân
c)C/m AH là đường trung trực của BC
d)Trên tia BD lấy điểm K sao cho D là trung điểm của BK. C/m \(\widehat{ECB}=\widehat{DKC}\)
Hình:
Giải:
a) Xét tam giác ABD và tam giác ACE, có:
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0\)
\(AB=AC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACE\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow BD=CE\) (Hai cạnh tương ứng)
b) Vì \(\Delta ABD=\Delta ACE\) (câu a)
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (Hai góc tương ứng)
Có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(gt\right)\)
Lấy vế trừ vế, ta được:
\(\widehat{ABC}-\widehat{ABD}=\widehat{ACB}-\widehat{ACE}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\)
\(\Leftrightarrow\Delta BHC\) cân tại H
c) Xét tam giác ABC, có:
BD là đường cao thứ nhất của tam giác ABC
CE là đường cao thứ hai của tam giác ABC
Mà BD và CE cắt nhau ở H
Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC
\(\Rightarrow\) AH là đường cao thứ ba của tam giác ABC
Mà tam giác ABC cân tại A
=> AH đồng thời là đường trung trực của tam giác ABC
=> AH là đường trung trực của BC
d) Xét tam giác BKC, có:
CD là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác BKC
=> Tam giác BKC cân tại C
\(\Leftrightarrow\widehat{CBK}=\widehat{BKC}\)
Hay \(\widehat{CBH}=\widehat{DKC}\) (1)
Lại có: \(\widehat{CBH}=\widehat{HCB}\) (Tam giác HBC cân tại H)
Hay \(\widehat{CBH}=\widehat{ECB}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{ECB}=\widehat{DKC}\)
Vậy ...
a) xét \(\Delta EBC\) và \(\Delta\)DCB
\(\widehat{BEC}\) =\(\widehat{CDB}\) =90o
BC chung
\(\widehat{EBC}\) = \(\widehat{DCB}\) ( \(\Delta\) ABC cân tại A)
=>\(\Delta\) vuông EBC = \(\Delta\)vuông DCB ( cạnh huyền -góc nhọn )
=> BD=CE ( 2 cạnh tương ứng)
b) \(\Delta EBC=\Delta DCB\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{ECB}=\widehat{DBC}\) ( 2 góc tương ứng )
\(\Delta HBC\) có \(\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\) ( cmt)
=> \(\Delta HBC\) cân tại H
c) H là giao điểm của 2 đường cao BD và CE
=> H là trực tâm của \(\Delta ABC\)
=> AH là đường cao của BC
và \(\Delta ABC\) cân tại A
=> AH là trung trực của BC ( Tính chất tam giác cân )
d) D là trung điểm của BK
=> BD=KD mà BD=CE (cmt)
=> CE=KD
XÉT \(\Delta KDC\) và \(\Delta CEB\)
KD=CE( cmt)
\(\widehat{CEB}\) =\(\widehat{KDC}\) \(=90^o\)
BE=CD( \(\Delta EBC=\Delta DCB\) )
=>\(\Delta KDC=\Delta CEB\left(c.g.c\right)\)
=>\(\widehat{ECB}=\widehat{DKC}\) ( 2 góc tương ứng )
Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông BC tại H. Kẻ tia phân giác AD của góc BAH \(\left(D\in BC\right)\)
a) Chứng minh \(\widehat{BAH}=\widehat{C}\), \(\widehat{CAH}=\widehat{B}\)
b) Chứng minh \(\Delta ACD\)cân
c) Kẻ DK vuông BC, cắt AB tại K. Chứng minh \(\Delta KAD\)cân
d) CK là tia phân giác của \(\widehat{C}\) và CK là đường trung trực AB
e) Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho AI = AH. Chứng minh DI // AC
a)\(\widehat{C}=\widehat{BAH}=90^O-\widehat{CAH}\)
\(\widehat{B}=\widehat{CAH}=90^O-\widehat{BAH}\)
b)Ta có:
\(\widehat{ADC}=\widehat{B}+\widehat{BAD}=\widehat{B}+\frac{\widehat{BAH}}{2}=\widehat{B}+\widehat{\frac{C}{2}}\)
Lại có:
\(\widehat{DAC}=180^O-\widehat{C}-\widehat{ADC}=180^O-\widehat{C}-\left(\widehat{B}+\widehat{\frac{C}{2}}\right)=\left(90^O-\widehat{B}\right)-\frac{\widehat{C}}{2}+\left(90^O-\widehat{C}\right)\)
\(=\widehat{C}-\widehat{\frac{C}{2}}+\widehat{B}=\widehat{B}+\frac{\widehat{C}}{2}\)
Suy ra:\(\widehat{ADC}=\widehat{DAC}\)
\(\Rightarrow\Delta ADC\)cân tại C
c)\(DK\perp BC;AH\perp BC\Rightarrow DK//AH\)
\(\Rightarrow\widehat{KDA}=\widehat{DAH}\)(hai góc so le trong)
Mà \(\widehat{BAD}=\widehat{DAH}\)
\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{KDA}\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta KAD\)cân tại K
d)Xét \(\Delta CDK-\Delta CAK\)
\(\hept{\begin{cases}CD=CA\\KD=KA\\CA.chung\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Delta CDK=\Delta CAK\left(c.c.c\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)
e)Xét\(\Delta AID-\Delta AHD\)
\(\hept{\begin{cases}AI=AH\\AD.chung\\\widehat{DAI}=\widehat{DAH}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\widehat{AID}=\widehat{AHD}=90^O\)
\(\Rightarrow DI\perp AB.Mà.AC\perp AB\)
\(\Rightarrow DI//AC\)
Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A ( AB < AC ) . Trên tia đối của tia AB , lấy điểm E sao cho AE = AC . Trên tia đối của AC , lấy điểm D sao cho AD = AB .
a) Chứng minh : \(\Delta ABC=\Delta ADE\).
b) Tia \(AH\perp BC\)tại K . Chứng minh \(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\)
c) Tia HA cắt DC tại K . Chứng minh K là trung điểm của De
d) Chứng minh BD // CE và \(BD+CE=BE\sqrt{2}\)