Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{a}{3a+b+c}=\frac{a}{\frac{a+b+c}{3}+\frac{a+b+c}{3}+\frac{a+b+c}{3}+a+a}\leq \frac{a}{25}\left(\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)\)

hay \(\frac{a}{3a+b+c}\leq \frac{9a}{25(a+b+c)}+\frac{2}{25}\)

Hoàn toàn TT: \(\frac{b}{a+3b+c}\leq \frac{9b}{25(a+b+c)}+\frac{2}{25}; \frac{c}{a+b+3c}\leq \frac{9c}{25(a+b+c)}+\frac{2}{25}\)

Cộng theo vế các BĐT trên

\(\Rightarrow T\leq \frac{9(a+b+c)}{25(a+b+c)}+\frac{6}{25}=\frac{3}{5}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Akai Haruma: em có một cách khác là chuẩn hóa, nhưng ko biết đúng không. Vì cô làm cách kia rồi nên em làm cách này, chứ em thích cách kia hơn.

BĐT trên là thuần nhất (đồng bậc) nên chuẩn hóa a + b + c = 3. Ta cần chứng minh:

\(\Sigma\frac{a}{2a+3}\le\frac{3}{5}\)

C1: Áp dụng BđT AM-GM \(\frac{a}{2a+3}=\frac{a}{a+a+1+1+1}\le\left(\frac{1}{25}+\frac{1}{25}+\frac{3a}{25}\right)\)

Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta thu được đpcm.

Cách 2: (ko hay + dài)

\(BĐT\Leftrightarrow\Sigma\left(\frac{a}{2a+3}-\frac{1}{5}\right)\le0\) \(\Leftrightarrow\Sigma\left(\frac{3\left(a-1\right)}{5\left(2a+3\right)}-\frac{3}{25}\left(a-1\right)\right)+\Sigma\frac{3}{25}\left(a-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\Sigma\left(a-1\right)\left(\frac{3}{5\left(2a+3\right)}-\frac{3}{25}\right)\le0\)\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{-30\left(a-1\right)^2}{5.25\left(2a+3\right)}\le0\) (đúng)

Ta có đpcm

\(VT=\sum\frac{a}{2a+a+b+c}\le\frac{1}{25}\sum\left(\frac{4a}{2a}+\frac{9a}{a+b+c}\right)=\frac{1}{25}\left(6+\frac{9\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\right)=\frac{3}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{a}{3a+b+c}=\frac{2a}{6a+2b+2c}=\frac{2a}{(a+b)+(a+c)+(a+b)+(a+c)+2a}\leq \frac{2a}{25}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2a}\right)\)

\(=\frac{4}{25}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})+\frac{1}{25}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế ta có:

\(\sum \frac{a}{3a+b+c}\leq \frac{4}{25}(\frac{a+b}{a+b}+\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c})+\frac{3}{25}=\frac{12}{25}+\frac{3}{25}=\frac{3}{5}\)

(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

\(\frac{a}{3a+b+c}=\frac{a}{2a+a+b+c}\le\frac{1}{25}\left(\frac{4a}{2a}+\frac{9a}{a+b+c}\right)=\frac{2}{25}+\frac{9}{25}\left(\frac{a}{a+b+c}\right)\)

Tương tự: \(\frac{b}{a+3b+c}\le\frac{2}{25}+\frac{9}{25}\left(\frac{b}{a+b+c}\right)\) ; \(\frac{c}{a+b+3c}\le\frac{2}{25}+\frac{9}{25}\left(\frac{c}{a+b+c}\right)\)

Cộng vế với vế:

\(VT\le\frac{6}{25}+\frac{9}{25}\left(\frac{a+b+c}{a+b+c}\right)=\frac{3}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Bạn tham khảo:

Câu hỏi của 원회으Won Hoe Eu - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

Hơi tắt 1 xíu ^.^

\(\frac{1}{3a+2b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\) )cái này bn tự cm nha bằng hệ quả của bunhia
tương tự :\(\frac{1}{3b+2c+a}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

\(\frac{1}{3c+2a+b}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{c}+\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

Công tất cả các vế vs nhau:\(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{3b+2c+a}+\frac{1}{3c+2a+b}\le\frac{1}{36}\left(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c}\right)\)=1/36 x96=8/3

à còn phần mik dùng bunhia sao ra dc thế nè :\(\frac{1}{3a+2b+c}=\frac{1}{a+a+a+b+b+c}\)

\(=\frac{1}{36}\left(\frac{36}{a+a+a+b+b+c}\right)\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)\(=\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

tích cho tao phát thì t làm , 

TÍCH CÁI J

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=3a+b+c\\y=3b+a+c\\z=3c+a+b\end{cases}\left(x;y;z>0\right)}\)

\(\Rightarrow x+y+z=5a+5b+5c=5\left(a+b+c\right)\)

Lại có: \(a+b+c=x-2a=y-2b=z-2c\)

\(\Rightarrow x+y+z=5\left(x-2a\right)=5\left(y-2b\right)=5\left(z-2c\right)\)

\(\Rightarrow4x-\left(y+z\right)=4\left(3a+b+c\right)-\left(4b+4c+2a\right)=10a\)

Tương tự ta có:\(4y-\left(x+z\right)=10b;4z-\left(x+y\right)=10c\)

\(\Rightarrow10T=\frac{4x-\left(y+z\right)}{x}+\frac{4y-\left(x+z\right)}{y}+\frac{4z-\left(x+y\right)}{z}\)

\(=12-\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\)

\(=12-\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)\)\(\le12-6=6\)(Bđt Cô si)

\(\Rightarrow10T\le6\Rightarrow T\le\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)(Đpcm)

Dấu = khi a=b=c

Ta CM BĐT phụ sau: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}},a+b\ge2\sqrt{ab}\)( co si với a,b>0)

Suy ra \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\RightarrowĐPCM\)\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(1\right)\)

a/Áp dụng (1) có

\(\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\left(2\right)\).Tương tự ta cũng có:

\(\frac{1}{b+c+2a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\left(3\right),\frac{1}{c+a+2b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\right)\left(4\right)\)

Cộng (2),(3) và (4) có \(VT\le\frac{1}{4}.\left(6+6\right)=3\left(ĐPCM\right)\)

b/Áp dụng (1) có:

\(\frac{1}{3a+3b+2c}=\frac{1}{\left(a+b+2c\right)+2\left(a+b\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}\right)\left(5\right)\)

Tương tự có: \(\frac{1}{3a+2b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c+2b}+\frac{1}{2\left(a+c\right)}\right)\left(6\right)\)

\(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\left(7\right)\)

Cộng (5),(6) và (7) có:

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{a+c+2b}+\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\right)\le\frac{1}{4}.9=\frac{3}{2}\)