Cách 1 :

HC -HB = AB, HC +HB =BC
nhân 2 vế ta có HC^2 -HB^2 =AB.BC (1).
Áp dụng Pitago ta có HC ^2 =AC^2-AH^2, HB^2 = AB^2 -AH^2 nên HC^2 - HB^2 =AC^2 -AB^2 = (BC^2 -AB^2 ) -AB^2 = BC^2 -2AB^2 ,(2). Từ (1 ) và (2 ) có BC^2 - 2AB^2 =AB.BC
<=> BC^2 -AB.BC - 2AB^2 = 0
<=> (BC +AB) (BC -2AB ) = 0,
do AB +BC >0 => BC - 2AB = 0 => BC = 2AB

Cách 2:

Dựa vào đường xiên và hình chiếu :
lấy điểm D nằm giữa H,C sao cho HD = HB
==> AB = AD ( do có 2 hình chiếu bằnng nhau )
Đồng thời : AB = HC -- HB ( gt) = HC --HD = CD => AB = CD
nên : AD = CD
Kẻ đường cao DK xuống AC ==> AK = KC (do có 2 đxiên bằng nhau)
Nên K là trung điểm của AC và DK // AB ( do cùng vuông góc AC ) Từ đó D là trung điểm của BC ( đường trung bình )
==> BC = 2. BD = 2. CD , thay CD = AB ta được
----->BC = 2 .AB

mình sẽ chứng minh cho bạn tính chất này trứơc, vì rong bài sẽ có tính chất này

trong 1 tam giác vuông, có góc = 30 độ, thì cạnh góc vuông đối với góc ấy = 1/2 cạnh huyền, vậy cạnh còn lại = ?

giả sử tam giác abc vuông tại a và góc c = 30 dộ, thì ab = 1/2 bc

ta cần tính ac

áp dụng pytago vào tam giác này

\(=>bc^2-ab^2=ac^2\\ < =>4ab^2-ab^2=ac^2\\ < =>3ab^2=ac^2\\ < =>\sqrt{3}.ab=ac\)

thế nhé, giờ mình sẽ àm bài này, mang tinh chất của lớp 8 vì có đồng dạng

theo đề ta có

\(hc-hb=ab\\ < =>\left(hc-hb\right)^2=ab^2\\ < =>hc^2-2.hb.hc+hb^2=ab^2\left(1\right)\)

lại có hb . hc = ah² (2)

ab² = ah² + hb² (3)

từ (1); (2); (3)

\(=>ab^2=hc^2+hb^2-2.hb.hc=ah^2+hb^2\\ < =>ab^2=hc^2+hb^2-2ah^2=ah^2+hb^2\\ < =>ab^2=hc^2-3ah^2\\ < =>hc=\sqrt{3}.ah\)

có cái tính chất nãy mình chứng minh rồi

=> góc c = 30 độ

=> bc = 2 .ab

có mấy cái của lớp 8, nếu ko hiểu thì cứ hỏi mình nhé :)

chúc may mắn

b

Bài 5: 

Ta có: \(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH\left(BH+9\right)=400\)

\(\Leftrightarrow BH^2+25HB-16HB-400=0\)

\(\Leftrightarrow BH=16\left(cm\right)\)

hay BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC^2=CH\cdot BC\\AH\cdot BC=AB\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=15\left(cm\right)\\AH=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a: \(AH=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

HC=12cm

BC=16cm

Bài 1: 

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH=\dfrac{9^2}{15}=\dfrac{81}{15}=5.4\left(cm\right)\)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên CH=BC-BH=15-5,4=9,6(cm)

b) Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên BC=1+3=4(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC=1\cdot4=4\left(cm\right)\\AC^2=CH\cdot BC=3\cdot4=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=2\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(1,\)

\(a,\) Áp dụng HTL tam giác

\(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=CH\cdot BH\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AH^2}{CH}=\dfrac{25}{6}\left(cm\right)\\AB=\sqrt{\dfrac{25}{6}\left(\dfrac{25}{6}+6\right)}=\dfrac{5\sqrt{61}}{6}\left(cm\right)\\AC=\sqrt{6\left(\dfrac{25}{6}+6\right)}=\sqrt{61}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\\ BC=\dfrac{25}{6}+6=\dfrac{61}{6}\left(cm\right)\)

\(b,S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot\dfrac{61}{6}=\dfrac{305}{12}\left(cm^2\right)\)

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: A H 2 = B H . C H

⇒ CH = 

BC = BH + CH = 25 + 10,24 = 35,24

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

A B 2 = B H . B C ⇒ AB = 

≈ 29,68

A C 2 = H C . B C

⇒ AC =  ≈ 18,99

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

A B 2 = B H . B C ⇒ BC =  = 24

CH = BC – BH = 24 – 6 = 18

Theo hệ thức liên hệ giữa các cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

A C 2 = H C . B C ⇒ AC =  ≈ 20,78

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông, ta có:

A H 2 = H B . B C ⇒ AH =