\(A=2x^2+4y^2+4xy-6z+10\)

\(=\left(x^2+4y^2+4xy\right)+\left(x^2-6x+9\right)+1\)

   \(=\left(x+2y\right)^2+\left(x-3\right)^2+1\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(x+2y\right)^2\ge0\\\left(x-3\right)^2\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow A\ge0+0+1=1>0\)

Vậy ...

a) Ta có:

\(x^2+2xy+y^2+1\)

\(=\left(x+y\right)^2+1\)

Vì \(\left(x+y\right)^2\ge0\) với mọi x và y

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+1\ge1\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+1>0\) với mọi x

b) Ta có:

\(x^2-x+1\)

\(=x^2-2x.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1\)

\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

Vì \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) với mọi x

\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\) với mọi x

Sửa đề: \(A=3x^2-6x+4=3\left(x^2-2x+\dfrac{4}{3}\right)\)

\(A=3\left(x^2-2x+1+\dfrac{1}{3}\right)\)

\(A=3\left(x^2-2x+1\right)+1\)

\(A=3\left(x-1\right)^2+1>0\left(đpcm\right)\)

Ta có \(Q=x^2+y^2+36-2xy-12x+12y+5y^2-10y+5+1976\)

               \(=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2+1976\ge0\)

=>Q luôn nhận giá trị dương với mọi x,y (ĐPCM)

^_^

\(Q=x^2+6y^2-2xy-12x+2y+2017\)

\(Q=\left(x^2-2xy+y^2\right)-2\left(x-y\right)6+36+5y^2-10x+5+1976\)

\(Q=\left(x-y\right)^2-12\left(x-y\right)+64+5\left(y^2-2y+1\right)+1976\)

\(Q=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2+1976\)

Mà, \(\left(x-y-6\right)^2,5\left(y-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow Q>0\)

\(Q=x^2+6y^2-2xy-12x+2y+2017\)

\(Q=\left(x^2-2xy+y^2\right)-12x+12y-10y+5y^2+2017\)

\(Q=\left(x-y\right)^2-2.6\left(x-y\right)+36+\left(5y^2-10y+5\right)+1976\)

\(Q=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2+1976\)

Vì\(\left(x-y-6\right)^2;5\left(y-1\right)^2\ge0\)

\(Q>0\forall x;y\in R\)(đpcm)

Viết lại đề câu a)

Câu b)

\(A=4x^2+4x+15\)

\(=\left(2x+1\right)^2+14\ge14\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)

Vậy : Min \(A=14\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)

\(x^2-3x+7=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}>0\)

Ta có \(A=4x^2+4x+15=\left(2x+1\right)^2+14\ge14\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{-1}{2}\)

Vậy Min \(A=14\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

a, Ta có : \(x^2-3x+7\)

\(=x^2-2.x.\frac{3}{2}+\frac{9}{4}+\frac{19}{4}\)

\(=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\)

Ta thấy \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)

=> \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\ge\frac{19}{4}\)

Mà \(\frac{19}{4}>0\)

=> \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}>0\) với mọi x .

=> \(x^2-3x+7>0\forall x\)

b, Ta có : \(A=4x^2+4x+15\)

=> \(A=\left(2x+1\right)^2+14\)

Ta thấy : \(\left(2x+1\right)^2\ge0\)

=> \(\left(2x+1\right)^2+14\ge14\)

Vậy Min_A = 14 khi 2x + 1 = 0 <=> \(x=-\frac{1}{2}\)

Bạn viết thiếu đề bài nhé, phải là -x² + x - 1 nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi x!! ^ . ^

Ta có: 

         -x² + x - 1 = - (x² - x + 1)

                        = - (x - 1)²   _{(hằng đẳng thức đấy bạn)}

Vì (x - 1)² \(\ge\)0 với mọi x => - (x - 1)² \(\le\)với mọi x.

 Dấu bằng xảy ra <=> x - 1 = 0 <=> x = 1.

_Kik nhé!! ^ ^

Không phải chỉ có nhỏ hơn thôi

Nhỏ hơn hoặc bằng mà..

Đối với bài này, đầu tiên lấy n = 1, 2 để biết gợi ý phân tích số thành nhân tử, rồi sau đó khái quát lên.

Với n = 1, số trở thành 121 = 11 x 11

Với n = 2, số trở thành 11211 = 111 x 101

Vậy khái quát hóa lên:

       11...1211...1 = 11..11 x 100...01 (số thứ nhất có n+1 chữ số 1, só thứ hai có số đầu tiên và cuối cùng là 1 và n-1 chữ số 0 ở giữa.

Để chứng minh trường hợp tổng quát trên cũng rất dễ, có thể đặt phép nhân theo hàng dọc là ra:

      11...11

   x 10...01

      11..   1

11..1

11...21....1

Hoặc cách khác là:

   11...11 x 10...01 = 11...11 x (10ⁿ +1) = 11...11 x 10ⁿ + 11...11

= 11...1100...0 + 11...11 = 11...1211...1

Bản chất hai cách nhân như nhau cả. 

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

dài dữ vậy

- Nếu n là số chẵn thì n.(n + 2017) chia hết cho 2 => n.(n + 2017) là số chẵn.

- Nếu n là số lẻ thì n + 2017 là số chẵn => n.(n + 2017) chia hết cho 2 => n.(n + 2017) là số chẵn.

Vậy n.(n + 2017) là số chẵn với mọi số tự nhiên n.

Xét 2 trường hợp:

Nếu n lẻ thì n + 2017 sẽ là một số chẵn

Mà lẻ nhân chẵn sẽ cho 1 số chẵn nên n.(n+2017) chẵn

Nếu n chẵn thì n + 2017 sẽ là một số lẻ

Mà chẵn nhân lẻ sẽ cho 2 số chẵn nên n.(n + 2017 ) chẵn

Vậy với mọi số tự nhiên n thì n.(n+2017) chẵn

Nhớ k cho mình nhé! Thank you!!!

ta có \(n\cdot\left(n+2017\right)\)

TH1: nếu \(n⋮̸2\)

\(n+2017⋮2\)

\(n\cdot\left(n+2017\right)⋮2\)

TH2: Nếu \(n⋮2\)

\(n\cdot\left(n+2017\right)⋮2\)

Vậy \(n\cdot\left(n+2017\right)\)là số chẵn với mọi số tự nhiên n

3x² - 6x + 4

= 3( x² - 2x + 1) + 1

= 3( x - 1)² + 1

Do : 3( x - 1)² lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x thuộc R

=> 3( x - 1)² + 1 > 0 với mọi x thuộc R