xét tam giác ADC có Q là trung điểm của AD(gt)

P là trung điểm của DC (gt)

=> QP là đường trung bình của tam giác ADC

=> QP=AC/2, QP// AC (1)

xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt)

N là trung điểm của BC (gt)

=> NM là đường trung bình của tam giác ABC

=> NM = AC/2, NM // AC (2)

từ (1) và (2) => NM = QP, NM // QP => MNPQ là HBH(vì là tứ giác có 2 cạnh đối vừa // vừa = nhau)

b) ABCD là Hthang cân => \(\widehat{BAD}=\widehat{ABC}\), AD = BC (t/c Hthang cân)

AD = BC => AQ = BN

xét tam giác AQM và tam giác MBN

có AM=MB (gt)

\(\widehat{QAM}=\widehat{MBN}\)(cmt)

AQ = BN (cmt)

=> tam giác AQM = tam giác BNM(c-g-c)

=> QM=MN (2 cạnh tương ứng)

HBH MNPQ có QM = MN (cmt)

=> MNPQ là Hthoi (vì là HB có 2 cạnh kề = nhau)

MP là đường chéo => MP là tia phân giác của \(\widehat{QMN}\)(t/c Hthoi)

a. tam giác ABC có M là trung điểm của AB; N là trung điểm của BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

=> MN// AC, MN= 1/2AC (1)

tam giác DCA có P là trung điểm của DC ;Q là trung điểm của DA nên PQ là đường trung bình của tam giác DCA

=> PQ// AC, PQ= 1/2AC (2)

từ (1) và (2) suy ra MN// PQ, MN= PQ

tứ giác MNPQ có MN// PQ, MN= PQ nên là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau )

b) Khi ABCD là hình thang cân thì MN=MQ=NP=PQ.

Vậy MNPQ là hình thoi. => MP là p/g của QMN.

Hk tốt!

Tam giác BCD có :

BN = NC ( gt )

DP = PC ( gt )

\(\Rightarrow\)NP là đường trung bình tam giác BCD ( 1 )

Tam giác ADB có :

AQ = QD ( gt )

AM = MB ( gt )

\(\Rightarrow\)QM là đường trung bình tam giác ADB ( 2 )

Từ ( 1 ) , ( 2 ) suy ra NP = QM , NP // QM

\(\Rightarrow\)MNEF là hình bình hành ( đến đây bạn tự chứng minh tiếp hình thoi )

c) Để MNPQ là hình vuông thì ta chứng minh ABCD là hình thang cân có 2 đường chéo vuông góc với nhau 

a: Xét ΔABD có

M là trung điểm của AB

Q là trung điểm của AD

Do đó: MQ là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: MQ//BD và \(MQ=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔBCD có 

N là trung điểm của BC

P là trung điểm của CD

Do đó: NP là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra: NP//BD và \(NP=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra MQ//NP và MQ=NP

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MN//AC

mà AC\(\perp\)BD

nên MN\(\perp\)BD

hay MN\(\perp\)MQ

Xét tứ giác MQPN có

MQ//NP

MQ=NP

Do đó: MQPN là hình bình hành

mà \(\widehat{QMN}=90^0\)

nên MQPN là hình chữ nhật

Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài ∆ đó ∆ABD vuông cân tại B và ∆ACE vuông cân tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE. Chứng minh rằng: 1, AH = AK 2, AH.AH = BH.CK

Bạn nào giải hộ mình với?

Nối B với D
Xét ΔABD có :
AM = BM (gt)
AQ = DQ (gt)
=> QM là đường tb của ΔABD
=> QM // BD , QM = 1/2 BD(1)
Chứng minh tương tự ΔBCD
=> NP là đường tb của ΔBCD
=> NP // BD , NP = 1/2 BD (2)
Từ (1) và (2 ) => Tứ giác MNPQ là hình bình hành (dhnb)(đcpcm)