Chứng minh bất đẳng thức :
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 4 2021 lúc 13:42
Chứng minh các bất đẳng thức:
a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)
b) \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với \(x>0,y>0\)
chứng minh bất đẳng thức
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Đề phải cho x,y,z ; a,b,c >0 chứ bạn ơi
Xét A = (a^2/x + b^2/y + c^2/z) . (x+y+z) = [(a/\(\sqrt{x}\))^2+(b/\(\sqrt{y}\))^2+(c/\(\sqrt{z}\))^2 . (\(\sqrt{x}\)2 + \(\sqrt{y}\)2 + \(\sqrt{z}\)2)
Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có :
A >= (a/\(\sqrt{x}\).\(\sqrt{x}\)+b/\(\sqrt{y}\).\(\sqrt{y}\)+c/\(\sqrt{z}\).\(\sqrt{z}\))^2 = (a+b+c)^2
=> a^2/x + b^2/y + c^2/z >= (a+b+c)^2/x+y+z
=> ĐPCM
k mk nha
Đúng 0
Bình luận (0)
Nhầm chỗ \(\sqrt{z}\)2 nha . đó là \(\sqrt{z}\)2
k mk nha
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh các bất đẳng thức sau với x, y, z > 0
a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)
c) \(x^4+y^4\ge\dfrac{\left(x+y\right)^4}{8}\)
e) \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
f) \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)
a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow3x^3+3y^3\ge3x^2y+3xy^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2\left(x-y\right)-3y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\left(đúng\right)\)
Đúng 1
Bình luận (0)
a: Ta có: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Đúng 1
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2vớix,y,a,b\ne0và\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
Chứng minh bất đẳng thức sau với x,y,z dương \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\)
\(\ge\frac{9}{x+y+y+z+x+z}=\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh với mọi x, y \(\in R\), bất đẳng thức sau luôn đúng:
\(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)
Dễ thấy:
\(VT\ge\left(x+y\right)^2+1-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\)
Áp dụng Cô-si:
\(\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}.1}=\sqrt{3}\left|x+y\right|\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)
Do đó:
\(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right),\forall x,y\in R\)
Đúng 1
Bình luận (0)
cho các số thực dương x,y,x thỏa mãn xy ≥ 1 và z ≥1
Chứng minh bất đẳng thức \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{z^3+2}{3\left(xy+1\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có x^2+y^2ge2xyRightarrow2left(x^2+y^2right)geleft(x+yright)^2ge1(cộng 2 vế với x^2+y^2)Rightarrow x^2+y^2gefrac{1}{2}Áp dùng bất đẳng Cauchy-schwarz ta có:x^4+y^4frac{x^4}{1}+frac{y^4}{1}gefrac{left(x^2+y^2right)^2}{1+1}gefrac{left(frac{1}{2}right)^2}{2}frac{1}{8}Dấu xảy ra int^{x^2y^2}_{x+y1}Leftrightarrow xyfrac{1}{2}
Đọc tiếp
Ta có \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\ge1\)(cộng 2 vế với \(x^2+y^2\))
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)
Áp dùng bất đẳng Cauchy-schwarz ta có:
\(x^4+y^4=\frac{x^4}{1}+\frac{y^4}{1}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{1+1}\ge\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}=\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra <=>\(\int^{x^2=y^2}_{x+y=1}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Chứng minh bất đẳng thức :
\(\sin\frac{x+y}{2}\ge\frac{1}{2}\left(\sin x+\sin y\right)\) với 0 < x,y ,180
Giuspmifnh với nhá !!!