Cho\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}\)\(=\frac{a+b+3c}{c}\)
Áp dụng tc dảy tỉ số bằng nhau
suy ra 3a+b+c/a = a+3b+c/b = a+b+3c/c = \(\frac{3a+b+c+a+3b+c+a+b+3c}{a+b+c}=5\)
và = \(\frac{3a+b+c-\left(a+3b+c\right)}{a-b}=2\)
Vậy 2=5
Tìm lỗi sai
Cho a,b,c>0 và abc=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{2}{a^3b+a^3c}+\frac{2}{b^3a+b^3c}+\frac{2}{c^3a+c^3b}\ge3\)
Bài 1 : Cho a. b. c và dãy tỉ số: \(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}\)
Tính P= \(\frac{\left(3a-2b\right)\left(3b-2c\right)\left(3c-2a\right)}{\left(3a-c\right)\left(3b-a\right)\left(3c-b\right)}\)
\(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}=\frac{2b+c-a+2c-b+a+2a+b-c}{a+b+c}=\)
\(=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
+ Từ \(\frac{2b+c-a}{a}=2\Rightarrow2b+c-a=2a\Rightarrow3a-2b=c\) và \(3a-c=2b\)
+ Tương tự ta cũng có \(3b-2c=a\) và \(3b-a=2c\)
Và \(3c-2a=b\); \(3c-b=2a\)
Thay vào P
\(P=\frac{c.a.b}{2.b.2.c.2.a}=\frac{1}{8}\)
Cho a,b,c>0,tim GTNN:\(\frac{\sqrt{a^3c}}{\sqrt{b^3a}+bc}+\frac{\sqrt{b^3a}}{\sqrt{c^3b}+ac}+\frac{\sqrt{c^3b}}{\sqrt{a^3c}+ab}\)
Cmr:
\(\forall a,b,c\ge0\)
\(\frac{a^3b}{c}+\frac{a^3c}{b}+\frac{b^3c}{a}+\frac{b^3a}{c}+\frac{c^3a}{b}+\frac{c^3b}{a}\ge6abc\)
Ai nhanh mình k cho nhé!
Ad BĐT Cauchy cho 6 số:
\(\frac{a^3b}{c}+\frac{a^3c}{b}+\frac{b^3c}{a}+\frac{b^3a}{c}+\frac{c^3a}{b}+\frac{c^3b}{a}\ge6\sqrt[6]{\frac{a^8b^8c^8}{a^2b^2c^2}}=6abc\)
Dấu = xr khi a=b=c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho VT ta được :
\(VT\ge6\sqrt[6]{\frac{a^3b}{c}\cdot\frac{a^3c}{b}\cdot\frac{b^3c}{a}\cdot\frac{b^3a}{c}\cdot\frac{c^3a}{b}\cdot\frac{c^3b}{a}}=6\sqrt[6]{\frac{a^8b^8c^8}{a^2b^2c^2}}=6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=6abc=VP\)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
\(\)
cho dãy tỉ số :\(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}\)
tính :\(P=\frac{\left(3a-2b\right)\left(3b-2c\right)\left(3c-2a\right)}{\left(3a-c\right)\left(3b-a\right)\left(3c-b\right)}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}=\frac{2b+c-a+2c-b+a+2a+b-c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Do đó :
\(\frac{2b+c-a}{a}=2\)\(\Rightarrow\)\(2b=2a+a-c=3a-c\)\(\left(1\right)\)
\(\frac{2c-b+a}{b}=2\)\(\Rightarrow\)\(2c=2b-a+b=3b-a\)\(\left(2\right)\)
\(\frac{2a+b-c}{c}=2\)\(\Rightarrow\)\(2a=2c+c-b=3c-b\)\(\left(3\right)\)
Thay (1), (2) và (3) vào P ta được :
\(P=\frac{\left(3a-2b\right)\left(3b-2c\right)\left(3c-2a\right)}{\left(3a-c\right)\left(3b-a\right)\left(3c-b\right)}\)
\(P=\frac{\left(3a-3a+c\right)\left(3b-3b+a\right)\left(3c-3c+b\right)}{2b.2c.2a}\)
\(P=\frac{abc}{8abc}=\frac{1}{8}\)
Vậy \(P=\frac{1}{8}\)
Chúc bạn học tốt ~
cho a,b,c > 0 . Cmr: \(A=\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+a+b}\le\frac{3}{5}\)
A=\(\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+a+b}\)
=>\(\frac{3}{2}\)-A=\(\frac{1}{2}-\frac{a}{3a+b+c}+\frac{1}{2}-\frac{b}{3b+a+c}+\frac{1}{2}-\frac{c}{3c+a+b}\)
<=>\(\frac{3}{2}\)-A=\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{6a+2b+2c}+\frac{1}{6b+2a+2c}+\frac{1}{6c+2a+2b}\right)\)
ta lại có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{6a+2b+2c}+\frac{1}{6b+2a+2c}+\frac{1}{6c+2a+2b}\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{6a+2b+2c+6b+2a+2c+6c+2a+2b}\right)=\frac{9}{10}\)<=>\(\frac{3}{2}-\)A\(\ge\frac{9}{10}\)<=>A\(\le\frac{3}{2}-\frac{9}{10}=\frac{3}{5}\)
dấu "=" xảy ra <=>a=b=c
Cho \(a,b,c\inℝ\) thoã mãn \(\frac{3a-b}{c}=\frac{3b-c}{a}=\frac{3c-a}{b}\)
Tính \(A=\frac{a}{2b-3c}+\frac{b}{2c-3a}+\frac{c}{2a-3b}\)
Ta có: \(\frac{3a-b}{c}=\frac{3b-c}{a}=\frac{3c-a}{b}\)
Áp dụng tính chất tỉ dãy số bằng nhau. Ta có:
\(\frac{3a-b}{c}=\frac{3b-c}{a}=\frac{3c-a}{b}\Leftrightarrow\frac{3a-b+3b-c+3c-a}{a+b+c}=\frac{3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)\left(3-1\right)}{a+b+c}=\frac{\left(a+b+c\right)2}{a+b+c}=2\).Do:
\(\frac{3a-b}{c}=\frac{3b-c}{a}=\frac{3c-a}{b}=2\) nên:
\(\Rightarrow3a-b=2c\) (1)
\(\Rightarrow3b-c=2a\) (2)
\(\Rightarrow3c-a=2b\)(3)
Thế (1) ; (2) ; (3) vào A. Ta có:
\(\frac{a}{2b-3c}+\frac{b}{2c-3a}+\frac{c}{2a-3b}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{a}{3c-a-3c}+\frac{b}{3a-b-3a}+\frac{c}{3b-c-3b}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{-c}\). Do: \(\frac{3a-b}{c}=\frac{3b-c}{a}=\frac{3c-a}{b}\Rightarrow\frac{a}{-a}=\frac{b}{-b}=\frac{c}{-c}=\left(-1\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=\left(-3\right)\)
P/s: Mình không chắc nên nếu sai thì bạn thông cảm nha
Mình làm thử các bạn xem có đúng ko nhé
Ta có :
\(\frac{3a-b}{c}=\frac{3b-c}{a}=\frac{3c-a}{b}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{3a-b}{c}=\frac{3b-c}{a}=\frac{3c-a}{b}=\frac{3a-b+3b-c+3c-a}{a+b+c}=\frac{3a+3b+3c-a-b-c}{a+b+c}\)
\(=\frac{3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=\frac{\left(a+b+c\right)\left(3-1\right)}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=\frac{2}{1}=2\)
Do đó :
\(\frac{3a-b}{c}=2\)\(\Rightarrow\)\(3a-b=2c\)\(\left(1\right)\)
\(\frac{3b-c}{a}=2\)\(\Rightarrow\)\(3b-c=2a\)\(\left(2\right)\)
\(\frac{3c-a}{b}=2\)\(\Rightarrow\)\(3c-a=2b\)\(\left(3\right)\)
Thay (1), (2) và (3) vào A ta có :
\(A=\frac{a}{2b-3c}+\frac{b}{2c-3a}+\frac{c}{2a-3b}\)
\(A=\frac{a}{3c-a-3c}+\frac{b}{3a-b-3a}+\frac{c}{3b-c-3b}\)
\(A=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{-c}\)
\(A=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)\)
\(A=-3\)
Vậy \(A=-3\)
Nếu đúng thì thui, sai thì đừng có k sai cho mình nha :)
Cho a,b,c\(\in\) R+ thỏa mãn \(\frac{3a-b}{c}=\frac{3b-c}{a}=\frac{3c-a}{b}\)
Tính \(A=\frac{a}{2b-3c}+\frac{b}{2c-3a}+\frac{c}{2a-3b}\)
Ta có :
\(\frac{3a-b}{c}=\frac{3b-c}{a}=\frac{3c-a}{b}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{3a-b}{c}=\frac{3b-c}{a}=\frac{3c-a}{b}=\frac{3a-b+3b-c+3c-a}{a+b+c}=\frac{3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)\left(3-1\right)}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=\frac{2}{1}=2\)
Do đó :
\(\frac{3a-b}{c}=2\)\(\Rightarrow\)\(3a-b=2c\)\(\left(1\right)\)
\(\frac{3b-c}{a}=2\)\(\Rightarrow\)\(3b-c=2a\)\(\left(2\right)\)
\(\frac{3c-a}{b}=2\)\(\Rightarrow\)\(3c-a=2b\)\(\left(3\right)\)
Thay (1), (2) và (3) vào A ta có :
\(A=\frac{a}{2b-3c}+\frac{b}{2c-3a}+\frac{c}{2a-3b}\)
\(A=\frac{a}{3c-a-3c}+\frac{b}{3a-b-3a}+\frac{c}{3b-c-3b}\)
\(A=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{-c}\)
\(A=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)\)
\(A=-3\)
Vậy \(A=-3\)
Chúc bạn học tốt
Cho a,b,c>0 và \(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}\). Tính \(P=\frac{\left(3a-2b\right)\left(3b-2c\right)\left(3c-2a\right)}{\left(3a-c\right)\left(3b-a\right)\left(3c-b\right)}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{2b+c-a}{a}=\frac{2c-b+a}{b}=\frac{2a+b-c}{c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Do đó :
\(\frac{2b+c-a}{a}=2\)\(\Rightarrow\)\(c=3a-2b\)\(;\)\(2b=3a-c\)\(\left(1\right)\)
\(\frac{2c-b+a}{b}=2\)\(\Rightarrow\)\(a=3b-2c\)\(;\)\(2c=3b-a\)\(\left(2\right)\)
\(\frac{2a+b-c}{c}=2\)\(\Rightarrow\)\(b=3c-2a\)\(;\)\(2a=3c-b\)\(\left(3\right)\)
Thay (1), (2) và (3) vào \(P=\frac{\left(3a-2b\right)\left(3b-2c\right)\left(3c-2a\right)}{\left(3a-c\right)\left(3b-a\right)\left(3c-b\right)}\) ta được :
\(P=\frac{c.a.b}{2b.2c.2a}=\frac{abc}{8abc}=\frac{1}{8}\)
Vậy \(P=\frac{1}{8}\)
Chúc bạn học tốt ~
Phùng Minh Quân sai nha nếu a+b+c = 0 thì a+b+c / 2(a+b+c) thì nó không bằng 1/2 đc mà nó bằng 0