Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)

Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)

Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*

\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{​​}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)

\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:

1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)

\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)

bài 2 xem có ghi nhầm ko

3a biến đổi tí là xong

b tuong tự bài 1 

1) \(M=a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)

Em chú ý bài toán sau nhé: Nếu a+b+c=0 <=> \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

CM: có:a+b=-c <=> \(\left(a+b\right)^3=-c^3\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)

Chú ý: a+b=-c nên \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

Do \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

Thay vào biểu thwusc M ta được M=3abc (ĐPCM)

2, em có thể tham khảo trong sách Nâng cao phát triển toán 8 nhé, anh nhớ không nhầm thì bài này trong đó

Nếu không thấy thì em có thể quy đồng lên mà rút gọn

vâng e cảm ơn anh 

\(\frac{a-b+c}{2b}=\frac{c-a+b}{2a}=\frac{a-c+b}{2c}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

=> 2a-2b+2c=2b <=> a+c=2b. Chia cả 2 vế cho c ta được: \(1+\frac{a}{c}=\frac{2b}{c}\)

Tương tự: \(1+\frac{c}{b}=\frac{2a}{b}\) và \(1+\frac{b}{a}=\frac{2c}{a}\)

=> \(\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=\frac{2a}{b}.\frac{2c}{a}.\frac{2b}{c}=\frac{8.abc}{abc}=8\)

Đáp số: 8

tại sao 2a-2b+2c=2b lại suy ra a+c=2b vậy bạn

Thì 2a-2b+2c=2b  <=> 2a+2c=2b+2b <=> 2(a+c)=4b => a+c=2b

mấy bài này ns thiệt mk chả hỉu j...cg đơn giản thoy...vì mk ms học lp 6 mừ...hehe^^

Câu 2/

\(\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}-\frac{1}{a}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}-\frac{1}{b}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}-\frac{1}{c}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-a\right)\left(c-a\right)}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{\left(a-b\right)\left(c-b\right)}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{c^2\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-a^2b^4c^2-a^2b^2c^4\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^4b^2c^2+a^2b^4c^2+a^2b^2c^4\left(1\right)\)

Ma ta có: \(\hept{\begin{cases}a^4b^4+b^4c^4\ge2a^2b^4c^2\left(2\right)\\b^4c^4+c^4a^4\ge2a^2b^2c^4\left(3\right)\\c^4a^4+a^4b^4\ge2a^4b^2c^2\left(4\right)\end{cases}}\)

Cộng (2), (3), (4) vế theo vế rồi rút gọn cho 2 ta được điều phải chứng minh là đúng.

PS: Nếu nghĩ được cách khác đơn giản hơn sẽ chép lên cho b sau. Tạm cách này đã.

tks bn nhé, bn giúp mk câu 1 được ko

Thỏa theo nguyện vọng mình làm luôn câu 1 cho b luôn :)

Câu 1/

\(A=\frac{\left(x+1\right)\left(x-y\right)}{y^2-xy+1}\)

Điều kiện: \(y^2-xy+1\ne0\)

Với x, y cùng chẵn, lẻ và x lẻ y chẵn thì tử là số chẵn, mẫu là số lẻ nên A sẽ là số chẵn.

Với x chẵn y lẻ thì tử là số lẻ mẫu là số chẵn nên A không phải là số nguyên.

Từ đây ta có được nếu A là số nguyên tố thì A chỉ có thể là 2.

\(A=\frac{\left(x+1\right)\left(x-y\right)}{y^2-xy+1}=2\)

\(\Leftrightarrow2y^2-xy+y-x^2-x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(2y+x+1\right)=2\)

\(\Rightarrow\left(x-y,2y+x+1\right)=\left(1,2;2,1\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)

Nhìn BĐT 4 số ngán quá

\(1\ge4\sqrt[4]{\frac{1}{a^2b^2c^2d^2}}\Rightarrow abcd\ge16\)

\(\Rightarrow VT=\frac{abcd}{8}+2\ge4\) (1)

Mà \(VP=\frac{a+c}{\sqrt{ac}}+\frac{b+d}{\sqrt{bd}}\le\frac{2\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{2\left(b+d\right)}{b+d}=4\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\) đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=2\)

Akai Haruma

@Nguyễn Việt Lâm anh giúp em vs !!!

Dễ mà 

Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

Ta có: \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)(1)

Từ (1),

Ta có: \(\frac{a+b}{c+d}\cdot\frac{a+b}{c+d}=\frac{a+b}{c+d}\cdot\frac{a-b}{c-d}\)(nhân mỗi vế với \(\frac{a+b}{c+d}\))

Vậy \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{\left(c+d\right)\left(c-d\right)}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\)(đpcm)