Lời giải:
$y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)=0$

$\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0$

$\Leftrightarrow x=m+1$ hoặc $x=m-1$

Với $x=m+1$ thì $y=-2m-2$. Ta có điểm cực trị $(m+1, -2m-2)$

Với $x=m-1$ thì $y=2-2m$. Ta có điểm cực trị $m-1, 2-2m$

$f''(m+1)=6>0$ nên $A(m+1, -2m-2)$ là điểm cực tiểu

$f''(m-1)=-6< 0$ nên $B(m-1,2-2m)$ là điểm cực đại 

$BO=\sqrt{2}AO$

$\Leftrightarrow BO^2=2AO^2$

$\Leftrightarrow (m-1)^2+(2-2m)^2=2(m+1)^2+2(-2m-2)^2$

$\Leftrightarrow m=-3\pm 2\sqrt{2}$

Đặt: d: y = ( m+1 ) x + 3

+) TH1: m = -1

=> d: y = 3

=> Khoảng cách của gốc tọa độ tới d là: 3 (1)

+) Th2: m khác -1.

Giao điểm của d với Ox là : A ( \(-\frac{3}{m+1};0\))

=> \(OA=\left|\frac{3}{m+1}\right|\)

Giao điểm của d với Oy là: \(B\left(0;3\right)\)

=> OB = 3.

Kẻ OH vuông với d tại H => AH  là khoảng cách từ O tới d

Xét tam giác OAB vuông tại O. Có OH là đường cao:

=> \(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{\left(m+1\right)^2}{9}+\frac{1}{9}>\frac{1}{9}\)vì m khác 1 => \(\left(m+1\right)^2>0\)

=> \(OH< 3\)

=> Khoảng cách từ gốc tọa độ đến d nhỏ hơn 3 (2)

Từ (1); (2) Khoảng cách từ O đến d có giá trị lớn nhất là 3 đạt tại m = -1.

len google bn oi

a) Để hàm số trên đồng biến thì a>0  <=> m+5>0  <=> m>-5

b) thay A(2;3) vào đồ thị hs ta đc 3=(m+5).2+2m-10  =>m=3/4

Để hàm số y=(1-m)x+1 là hàm số bậc nhất thì \(1-m\ne0\)

\(\Leftrightarrow m\ne1\)

a) Để hàm số y=(1-m)x+1 đồng biến trên R thì 1-m>0

\(\Leftrightarrow-m>-1\)

hay m<1

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: m<1

Vậy: Để hàm số y=(1-m)x+1 đồng biến trên R thì m<1

c)

Thay m=2 vào hàm số y=(1-m)x+1, ta được:

y=(1-2)x+1

\(\Leftrightarrow y=-x+1\)Gọi A(xA,yA) và B(xB,yB) lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số y=-x+1 với trục Ox và trục Oy

Vì A(xA,yA) là giao điểm của đồ thị hàm số y=-x+1 với trục Ox nên yA=0

Thay y=0 vào hàm số y=-x+1, ta được:

-x+1=0

\(\Leftrightarrow-x=-1\)

hay x=1

Vậy: A(1;0)

Vì B(xB,yB) là giao điểm của đồ thị hàm số y=-x+1 với trục Oy nên xB=0

Thay x=0 vào hàm số y=-x+1, ta được:

y=-0+1=1

Vậy: B(0;1)

Độ dài đoạn thẳng OB là: 

\(OB=\sqrt{\left(x_O-x_B\right)^2+\left(y_O-y_B\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow OB=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(0-1\right)^2}=1\)(đvđd)

Độ dài đoạn thẳng OA là:

\(OB=\sqrt{\left(x_O-x_A\right)^2+\left(y_O-y_A\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow OB=\sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(0-0\right)^2}=1\)(đvđd)

Độ dài đoạn thẳng AB là:

\(AB=\sqrt{\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow AB=\sqrt{\left(1-0\right)^2+\left(0-1\right)^2}=\sqrt{2}\)(đvđd)

Ta có: \(AB^2=\left(\sqrt{2}\right)^2=2\)

\(OA^2+OB^2=1^2+1^2=2\)

Do đó: \(AB^2=OA^2+OB^2\)(=2)

Xét ΔOAB có \(AB^2=OA^2+OB^2\)(cmt)

nên ΔOAB vuông tại O(Định lí Pytago đảo)

Kẻ OH⊥AB tại H

⇒OH là khoảng cách từ O đến (d)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔOAB vuông tại O có OH là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(OH\cdot AB=OA\cdot OB\)

\(\Leftrightarrow OH\cdot\sqrt{2}=1\cdot1=1\)

hay \(OH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)(đvđd)

Vậy: Khoảng cách từ O đến (d) là \(OH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)