Nếu \(2m+2=0\Rightarrow m=-1\Rightarrow y=-2\)
=> ĐTHS là đường thẳng đi qua (0;-2) và // với trục Ox
=> Khoảng cách từ O đến đths là 2
Nếu \(2m+2\ne0\Rightarrow m\ne-1\)
Khi đó ĐTHS \(y=\left(2m+2\right)x+m-1\) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left(\frac{1-m}{2m+2};0\right)\) và \(B\left(0;m-1\right)\)
(ĐTHS bạn tự vẽ nhé)
Kẻ OH vuông góc với AB => OH là khoảng cách từ O đến đths
Tam giác AOB vuông tại O có OH là đường cao ứng với cạnh huyền nên ta có hệ thức sau:
\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{\left(\frac{1-m}{2m+2}\right)^2}+\frac{1}{\left(m-1\right)^2}=\frac{4m^2+8m+5}{m^2-2m+1}\)
\(\Rightarrow OH^2=\frac{m^2-2m+1}{4m^2+8m+5}\)
Đặt \(OH^2=a\ge0\)
\(\Rightarrow4m^2a+8ma+5a=m^2-2m+1\)
\(\Leftrightarrow m^2\left(4a-1\right)+2m\left(4a+1\right)+\left(5a-1\right)=0\)
\(\Delta^'=\left(4a+1\right)^2-\left(4a-1\right)\left(5a-1\right)=16a^2+8a+1-20a^2+9a-1\)
\(=-4a^2+17a=-a\left(4a-17\right)\)
\(\Delta^'\ge0\Leftrightarrow a\left(4a-17\right)\le0\Rightarrow0\le a\le\frac{17}{4}\)
\(\Rightarrow a_{max}=\frac{17}{4}\Rightarrow OH^2=\frac{17}{4}\Rightarrow OH=\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{m^2-2m+1}{4m^2+8m+5}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow4m^2-8m+4=68m^2+136m+85\)
\(\Leftrightarrow64m^2+144m+81=0\Leftrightarrow\left(8m+9\right)^2=0\Rightarrow m=-\frac{9}{8}\)
Vậy khoảng cách lớn nhất từ O đến đths là \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) khi \(m=-\frac{9}{8}\)
