(-10x3+ \(\dfrac{2}{5}\)y - \(\dfrac{1}{3}\)z) (-\(\dfrac{1}{2}\)xy)
hãy tìm giá trị của x trong các biểu thức sau biết x thuộc Z : \(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=3\) ; \(\dfrac{2}{y}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{8}{xy}+1\) ; \(x-\dfrac{1}{y}-\dfrac{4}{xy}=-1\) ; \(\dfrac{-3}{y}-\dfrac{12}{xy}=1\) ; \(\dfrac{x}{8}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}\).
help me pls!
Cho 3 số dương x,y,z. CM \(\dfrac{1}{x^2+yz}+\dfrac{1}{y^2+xz}+\dfrac{1}{z^2+xy}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)\)
Với a; b dương, nếu \(a\ge b\) thì \(\dfrac{1}{a}\le\dfrac{1}{b}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho mẫu số vế trái ta được:
\(\dfrac{1}{x^2+yz}+\dfrac{1}{y^2+xz}+\dfrac{1}{z^2+xy}\le\dfrac{1}{2x\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{2y\sqrt{xz}}+\dfrac{1}{2z\sqrt{xy}}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\sqrt{yz}}{2xyz}+\dfrac{\sqrt{xz}}{2xyz}+\dfrac{\sqrt{xy}}{2xyz}=\dfrac{\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}{2xyz}\)
Tiếp tục dùng Cô-si cho tử số:
\(VT\le\dfrac{\dfrac{y+z}{2}+\dfrac{x+z}{2}+\dfrac{x+y}{2}}{2xyz}=\dfrac{x+y+z}{2xyz}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
Cho x, y, z khác 0, \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{xz}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=3\)
Trước hết, ta đi chứng minh một bổ đề sau: Nếu \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\). Thật vậy, ta phân tích
\(P=a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(P=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(P=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(P=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\).
Hiển nhiên nếu \(a+b+c=0\) thì \(P=0\) hay \(a^3+b^3+c^3=3abc\), bổ đề được chứng minh.
Do \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\) nên áp dụng bổ đề, ta được \(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\).
Vì vậy \(\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{zx}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=\dfrac{xyz}{x^3}+\dfrac{xyz}{y^3}+\dfrac{xyz}{z^3}\) \(=xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)\) \(=xyz.\dfrac{3}{xyz}=3\). Ta có đpcm
Cho x,y,z > 0 có xy+yz+xz = 3xyz CMR : \(\dfrac{x^3}{x^2+z}+\dfrac{y^3}{y^2+x}+\dfrac{z^3}{z^2+y}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Lời giải:
Ta có: \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Mà theo BĐT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\)
Do đó: \(3\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z\geq 3\)
-------
Ta có: \(\text{VT}=x-\frac{xz}{x^2+z}+y-\frac{xy}{y^2+x}+z-\frac{yz}{z^2+y}\)
\(=(x+y+z)-\left(\frac{xy}{y^2+x}+\frac{yz}{z^2+y}+\frac{xz}{x^2+z}\right)\)
\(\geq x+y+z-\frac{1}{2}\left(\frac{xy}{\sqrt{xy^2}}+\frac{yz}{\sqrt{z^2y}}+\frac{xz}{\sqrt{x^2z}}\right)\) (AM-GM)
\(=x+y+z-\frac{1}{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\)
Tiếp tục AM-GM: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}+\frac{z+1}{2}=\frac{x+y+z+3}{2}\)
Suy ra:
\(\text{VT}\geq x+y+z-\frac{1}{2}.\frac{x+y+z+3}{2}=\frac{3}{4}(x+y+z)-\frac{3}{4}\)
\(\geq \frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
cho x,y,z là các số nguyên dương với \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3\)
Tìm max : \(\dfrac{x}{x^2+yz}+\dfrac{y}{y^2+xz}+\dfrac{z}{z^2+xy}\)
\(\dfrac{x}{x^2+yz}+\dfrac{y}{y^2+zx}+\dfrac{z}{z^2+xy}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2yz}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2zx}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2xy}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.
a, Cho x, y, z > 0 \(\in[0,1]\). Chứng minh:
\(\dfrac{x}{yz+1}+\dfrac{y}{xz+1}+\dfrac{z}{xy+1}< 2\)
b, x, y, z > 0 : xyz = 1. Chứng minh:
\(\dfrac{1}{x^2+2y+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\le2\)
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(GIẢI GIÚP EM VS MỌI NGƯỜI)
1, \(\begin{cases} x(y+z)=8 \\ y(x+z)=18\\ z(x+y)=20 \end{cases}\)
2, \(\begin{cases} \dfrac{xy}{x+y} =\dfrac{8}{3}\\ \dfrac{yz}{z+y} =\dfrac{12}{5}\\ \dfrac{xz}{x+z} =\dfrac{24}{7} \end{cases} \)
3, \(\begin{cases} x^{2} + 2yz=x\\ y^{2} + 2xz=y\\ z^{2} + 2xy=z\\ \end{cases}\)
4, \(\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} =2\\ \dfrac{2}{xy} -\dfrac{1}{z^{2}} =4 \end{cases} \)
cho `x^2 +y^2 +z^2 =1`. Chứng minh \(\dfrac{yz}{1+x^2}+\dfrac{zx}{1+y^2}+\dfrac{xy}{1+z^2}< =\dfrac{3}{4}\)
Cho x ≥ 1; y ≥ 1, z ≥ 1. Chứng minh rằng
a) \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
b) \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{3}{1+xyz}\)
\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}=\dfrac{x^2+y^2+2}{\left(xy\right)^2+x^2+y^2+1}=1-\dfrac{\left(xy\right)^2-1}{\left(xy\right)^2+x^2+y^2+1}\ge1-\dfrac{\left(xy\right)^2-1}{\left(xy\right)^2+2xy+1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge1-\dfrac{\left(xy+1\right)\left(xy-1\right)}{\left(xy+1\right)^2}=1-\dfrac{xy-1}{xy+1}=\dfrac{2}{1+xy}\) (đpcm)
b. Tương tự câu a:
\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{2}{1+zx}\) ; \(\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{2}{1+yz}\)
Cộng vế với vế và rút gọn:
\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{z+zx}\) (1)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}z\ge1\Rightarrow1+xy\le1+xyz\\y\ge1\Rightarrow1+zx\le1+xyz\\x\ge1\Rightarrow1+yz\le1+xyz\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+zx}\ge\dfrac{1}{1+xyz}+\dfrac{1}{1+xyz}+\dfrac{1}{1+xyz}=\dfrac{3}{1+xyz}\) (2)
TỪ (1); (2) \(\Rightarrowđpcm\)
a) Ta có: \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(1+xy\right)-\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{\left(1+xy\right)-\left(1+y^2\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(xy-x^2\right)\left(1+y^2\right)+\left(xy-y^2\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy+xy^3-x^2-x^2y^2+xy+x^3y-y^2-x^2y^2}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2xy+xy\left(x^2+y^2\right)-2x^2y^2-x^2-y^2}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy\left(x^2-2xy+y^2\right)-\left(x^2-2xy+y^2\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)\left(1+x^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right)^2}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)(luôn đúng)
=> Đẳng thức ban đầu được chứng minh.
P/s: Cái đoạn sau bạn bổ sung thêm vào là vì x và y lớn hơn bằng 1 nên xy-1 sẽ lớn hơn hoặc bằng 0 nhé, mình lười quá ngại chèn:vv.
Còn câu b bạn đợi mình nháp xíu.
Tìm x,y,z biết:
a, x : y : z = 10 : 3 : 4 và x + 2y - 3z = -20
b, \(\dfrac{x}{2}\) = \(\dfrac{y}{3}\) và \(\dfrac{y}{5}\) = \(\dfrac{z}{4}\) và x - y + z = -49
c, \(\dfrac{x}{2}\)= \(\dfrac{y}{3}\) =\(\dfrac{z}{4}\) và xy + \(z^2\)= 88
d, \(\dfrac{x}{5}\)= \(\dfrac{y}{7}\) = \(\dfrac{z}{3}\) và \(x^2\) + \(y^2\) + \(z^2\) = 415
Giải hộ mk nha