Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hày Cưi

Cho 3 số dương x,y,z. CM \(\dfrac{1}{x^2+yz}+\dfrac{1}{y^2+xz}+\dfrac{1}{z^2+xy}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)\)

Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 11 2018 lúc 18:09

Với a; b dương, nếu \(a\ge b\) thì \(\dfrac{1}{a}\le\dfrac{1}{b}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho mẫu số vế trái ta được:

\(\dfrac{1}{x^2+yz}+\dfrac{1}{y^2+xz}+\dfrac{1}{z^2+xy}\le\dfrac{1}{2x\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{2y\sqrt{xz}}+\dfrac{1}{2z\sqrt{xy}}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\sqrt{yz}}{2xyz}+\dfrac{\sqrt{xz}}{2xyz}+\dfrac{\sqrt{xy}}{2xyz}=\dfrac{\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}{2xyz}\)

Tiếp tục dùng Cô-si cho tử số:

\(VT\le\dfrac{\dfrac{y+z}{2}+\dfrac{x+z}{2}+\dfrac{x+y}{2}}{2xyz}=\dfrac{x+y+z}{2xyz}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z


Các câu hỏi tương tự
dia fic
Xem chi tiết
khoa
Xem chi tiết
Nguyễn Tấn Dũng
Xem chi tiết
DRACULA
Xem chi tiết
Mai Huyền My
Xem chi tiết
Anh Pha
Xem chi tiết
Chu Uyển Nhi
Xem chi tiết
Linh Anh
Xem chi tiết
Mai Anh
Xem chi tiết