\(3x^2+2y^2=7xy\)

\(\Leftrightarrow3x^2-7xy+2y^2=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-6xy-xy+2y^2=0\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x-2y\right)-y\left(x-2y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-y\right)\left(x-2y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-y=0\\x-2y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=y\\x=2y\end{matrix}\right.\)

+) TH1 : \(y=3x\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{3x+y}{7y-x}+\dfrac{6x-9y}{2x+y}\)

\(=\dfrac{3x+3x}{7.3x-x}+\dfrac{6x-9.3x}{2x+3x}\)

\(=\dfrac{9x}{20x}+\dfrac{-21x}{5x}\)

\(=-\dfrac{15}{4}\)

+) TH2 : \(x=2y\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{3x+y}{7y-x}+\dfrac{6x-9y}{2x+y}\)

\(=\dfrac{3.2y+y}{7y-2y}+\dfrac{6.2y-9y}{2.2y+y}\)

\(=\dfrac{7y}{5y}+\dfrac{3y}{5y}\)

\(=2\)

Vậy...

Bước 1: Nhân cả hai tầm nhìn của phương pháp với -1 để chuyển các hạng tử âm sang tầm nhìn bên phải của dấu bằng, ta được:

9y² - 3x² - 4z² - 6y²z² = -243

Bước 2: Tách biến và rút gọn chúng lại:

3x² - 9y² + 6y²z² = 4z² + 243

Bước 3: Áp dụng bổ đề Fermat để giải phương trình:

Ta có:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Áp dụng công thức trên, ta có:

(2z - 3y)² + 3x² = (13)²

Vì x, y, z là các nguyên dương nên ta có 2z - 3y > 0, do đó ta có:

2z - 3y = 13

Như vậy, ta có hệ thống phương tiện:

2z - 3y = 13
3x² = 169 - (2z - 3y)²

Bước 4: Giải hệ phương trình:

Với 2z - 3y = 13, ta có thể giải được y và z theo x:

y = (2z - 13)/3

z = (3y + 13)/2

Thay vào phương trình 3x² = 169 - (2z - 3y)², ta được:

3x² = 169 - (2((3y + 13)/2) - 3y)² = 169 - 49y²

Từ đó, ta có:

y² = (169 - 3x²)/49

y là số nguyên dương, do đó chỉ có một số giá trị của x có thể làm cho y là số nguyên, đó là khi 169 - 3x² chia hết cho 49. Ta có:

3x² = 169 - 49k (với k là một số nguyên)

x² + 16k/3 = 169/3

Vì x là một số nguyên dương, nên 169/3 - 16k/3 phải là một số chính phương. Kiểm tra và tìm được:

169/3 - 16k/3 = 64

k = 15

Thay k = 15 vào phương trình 3x² = 169 - 49k, ta được:

x² = 64

x = 8

Bước 5: Kết luận:

Do đó các bộ số nguyên dương đối với phương trình là: (x, y, z) = (8, 1, 5) hoặc (x, y, z) = (8, 1, -6).

Do \(243\) ; \(3x^2-9y^2+6y^2z^2\) đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow4z^2\) chia hết cho 3

\(\Rightarrow z\) chia hết cho 3 \(\Rightarrow z=3z_1\) với \(z_1\) nguyên dương

\(\Rightarrow3x^2-9y^2+36z^2_1+54y^2z_1^2=243\)

\(\Rightarrow x^2-3y^2+12z_1^2+18y^2z_1^2=81\)

Lý luận tương tự ta được \(x=3x_1\) với \(x_1\) nguyên dương

\(\Rightarrow9x_1^2-3y^2+12z_1^2+18y^2z_1^2=81\)

\(\Rightarrow3x_1^2-y^2+4z_1^2+6y^2z_1^2=27\) (1)

\(\Rightarrow3x_1^2+4z_1^2+y^2\left(6z_1^2-1\right)=27\)

Do \(x_1;z_1\) nguyên dương \(\Rightarrow x_1;z_1\ge1\)

\(\Rightarrow3x_1^2+4z_1^2+y^2\left(6z_1^2-1\right)\ge3+4+5y^2=7+5y^2\)

\(\Rightarrow7+5y^2\le27\Rightarrow y^2\le4\Rightarrow y\le2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

- Với \(y=1\) thế vào (1) 

\(\Rightarrow3x_1^2+10z_1^2=28\)

Nếu \(z_1\ge2\Rightarrow3x_1^2+10z_1^2>28\) (ktm) \(\Rightarrow z_1=1\Rightarrow3x_1^2=18\) ko tồn tại \(x_1\) nguyên thỏa mãn

- Với \(y=2\) thế vào (1) \(\Rightarrow3x_1^2+28z_1^2=31\Rightarrow x_1=z_1=1\) 

\(\Rightarrow x=z=3\)

Vậy có đúng 1 bộ số nguyên dương thỏa mãn là \(\left(x;y;z\right)=\left(3;2;3\right)\)

Chứng minh bt k phụ thuộc vào biến:

a) \(A=\left(3x-5\right)\left(2x+11\right)-\left(2x+3\right)\left(3x+7\right)\)

\(=6x^2+33x-10x-55-6x^2-14x-9x-21=-76\)

Vậy giá trị của A k phụ thuộc vào biến

b) \(\left(x-1\right)^2+\left(x+1\right)^2-2\left(x+1\right)\left(x-1\right)\)

\(=\left[\left(x-1\right)-\left(x+1\right)\right]^2=\left(x-1-x-1\right)^2=-2^2=4\)

Vậy giá trị của bt B k phụ thuộc vào biến

Chứng minh luôn luôn dương:

a) \(A=x\left(x-6\right)+10=x^2-6x+9+1=\left(x-3\right)^2+1\)

Vì: \(\left(x-3\right)^2\ge0,\forall x\)

=> \(\left(x-3\right)^2+1>0,\forall x\)

=>đpcm

b) \(B=x^2-2x+9y^2-6y+3=\left(x^2-2x+1\right)+\left(9y^2-6y+1\right)+1=\left(x-1\right)^2+\left(3y-1\right)^2+1\)

Vì: \(\left(x-1\right)^2\ge0,\forall x;\left(3y-1\right)^2\ge0,\forall y\)

=> \(\left(x-1\right)^2+\left(3y-1\right)^2\ge0,\forall x,y\)

=> \(\left(x-1\right)^2+\left(3y-1\right)^2+1>0\)

=>đpcm

Bài 2:

1: \(\left(2x-1\right)^2-4\left(2x-1\right)=0\)

=>\(\left(2x-1\right)\left(2x-1-4\right)=0\)

=>(2x-1)(2x-5)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}2x-1=0\\2x-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\x=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

2: \(9x^3-x=0\)

=>\(x\left(9x^2-1\right)=0\)

=>x(3x-1)(3x+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\3x-1=0\\3x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{1}{3}\\x=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

3: \(\left(3-2x\right)^2-2\left(2x-3\right)=0\)

=>\(\left(2x-3\right)^2-2\left(2x-3\right)=0\)

=>(2x-3)(2x-3-2)=0

=>(2x-3)(2x-5)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}2x-3=0\\2x-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2}\\x=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

4: \(\left(2x-5\right)\left(x+5\right)-10x+25=0\)

=>\(2x^2+10x-5x-25-10x+25=0\)

=>\(2x^2-5x=0\)

=>\(x\left(2x-5\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\2x-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Bài 1:

1: \(3x^3y^2-6xy\)

\(=3xy\cdot x^2y-3xy\cdot2\)

\(=3xy\left(x^2y-2\right)\)

2: \(\left(x-2y\right)\left(x+3y\right)-2\left(x-2y\right)\)

\(=\left(x-2y\right)\cdot\left(x+3y\right)-2\cdot\left(x-2y\right)\)

\(=\left(x-2y\right)\left(x+3y-2\right)\)

3: \(\left(3x-1\right)\left(x-2y\right)-5x\left(2y-x\right)\)

\(=\left(3x-1\right)\left(x-2y\right)+5x\left(x-2y\right)\)

\(=(x-2y)(3x-1+5x)\)

\(=\left(x-2y\right)\left(8x-1\right)\)

4: \(x^2-y^2-6y-9\)

\(=x^2-\left(y^2+6y+9\right)\)

\(=x^2-\left(y+3\right)^2\)

\(=\left(x-y-3\right)\left(x+y+3\right)\)

5: \(\left(3x-y\right)^2-4y^2\)

\(=\left(3x-y\right)^2-\left(2y\right)^2\)

\(=\left(3x-y-2y\right)\left(3x-y+2y\right)\)

\(=\left(3x-3y\right)\left(3x+y\right)\)

\(=3\left(x-y\right)\left(3x+y\right)\)

6: \(4x^2-9y^2-4x+1\)

\(=\left(4x^2-4x+1\right)-9y^2\)

\(=\left(2x-1\right)^2-\left(3y\right)^2\)

\(=\left(2x-1-3y\right)\left(2x-1+3y\right)\)

8: \(x^2y-xy^2-2x+2y\)

\(=xy\left(x-y\right)-2\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(xy-2\right)\)

9: \(x^2-y^2-2x+2y\)

\(=\left(x^2-y^2\right)-\left(2x-2y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x+y\right)-2\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x+y-2\right)\)