a: Xét tứ giác ADME có 

\(\widehat{AEM}=\widehat{ADM}=\widehat{EAD}=90^0\)

Do đó: ADME là hình chữ nhật

Suy ra: AM=DE

a: Xét tứ giác ADME có

góc ADM=góc AEM=góc DAE=90 độ

=>ADME là hình chữ nhật

ΔMDB vuông tại D có DI là trung tuyến

nên DI=MI=BI

ΔMEC vuông tại E có EK là trung tuyến

nên KC=KM=KE

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

=>D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

=>E là trung điểm của AC

Xét ΔABC có D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DE là đường trung bình 

=>DE//BC và DE=BC/2

KI=KM+MI

=1/2(MC+MB)

=1/2BC

=DE

Xét tứ giác DIKE có

DE//KI

DE=KI

=>DIKE là hình bình hành

b: DIKE là hình chữ nhật

=>góc DIK=90 độ

=>DI vuông góc MB

Xét ΔDMB có

DI vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

=>ΔDMB cân tại D

mà ΔDMB vuông cân tại D

nên góc B=45 độ

a) Cm. AH = DE 

Ta có: HD vuông góc với BA (gt)
          ED vuông góc với BA ( BA vuông góc với AC; E thuộc AC)
=> HD // EA

Ta lại có: DA vuông góc với AC ( BA vuông góc với AC; D thuộc AB)
              HE vuông góc với AC (gt)
=> DA // HE

Xét tứ giác DHEA, có;
* HD // EA (cmt)
* DA // HE (cmt)
=> DHEA là hình bình hành (định nghĩa)
=> DE = AH (tính chất của đường chéo) (đpcm)

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo DE, AH của hình bình hành DHEA.

Xét tam giác HEC vuông tại E, có:
* K là trung điểm của HC (gt)
=> EK = KH = KC (trung tuyến của tam giác vuông bằng 1/2 cạnh huyền)
=> DI = IH = IB ( chứng minh tương tự)

Xét tam giác DIO và tam giác HIO, có:
* DI = IH (cmt)
* IO là cạnh chung
* OD = OH (DHEA là hình bình hành)
=> tam giác DIO = tam giác HIO (c.c.c)
=> góc IHO = góc IDO ( yếu tố tương ứng)
Mà góc IHO = 90 độ (AH là đường cao)
=> góc IDO = 90 độ 
=> ID vuông góc với DE (1)

Xét tam giác HOK và tam giác EOK, có:
* HO = EO (DHEA là hình bình hành)
* OK là cạnh chung
* KH = KE (cmt)
=> tam giác HOK = tam giác EOK (c.c.c)
=> góc OHK = góc OEK ( yếu tố tương ứng)
Mà góc OHK = 90 độ (AH là đường cao)
=> góc OEK = 90 độ 
=> KE vuông góc với DE (2)

Từ (1), (2) => ID // KE (từ vuông góc đến song song) (đpcm).

a) chứng minh AH = DE

Xét tứ giác ADHE, ta có

góc HDA = góc DAE = góc AEH = 90^o

nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật

AH và DE là hai đường chéo trong hình chữ nhật ADHE nên chúng bằng nhau

b) chứng minh DIKE là hình thang vuông

* Gọi F là giao điểm của AH và DE

theo tính chất của đường chéo trong hình chữ nhật thì F là trung điểm của AH và DE, do đó tam giác FDH là tam giác cân tại F

nên góc FHD = góc FDH (1)

* DI là trung tuyến trong tam giác DBH vuông tại D nên DI = IH, do đó tam giác IDH là tam giác cân tại I

nên góc IHD = góc IDH (2)

* mặt khác góc IHD + góc FHD = góc FHI = 90^o (3)

từ (1), (2), (3) suy ra góc IDH + góc FDH = góc IDF = 90^o

chứng minh tương tự ta được góc FEK = 90^o

tứ giác DIKE có 2 góc kề nhau là góc IDF và góc FEK đều là góc vuông nên nó là hình thang vuông.

c) tính độ dài đường trung bình của hình thang DIKE (tạm gọi là y)

y = 0.5 (ID + KE) = 0.5 (0.5 BH + 0.5 CH) = 0.25 BC

theo định lý pytago thì BC² = AB² + AC² = 100 => BC = 10 => y = 2.5.

Cho mk hỏi tại sao DI là trung tuyến của tam giác vuông DBH thì tại sao mà DI lại = IH đc ?

tai sao goc FHI=90

Bài 2: 

a: Xét tứ giác ADME có 

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=\widehat{EAD}=90^0\)

Do đó: ADME là hình chữ nhật

a: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{EAD}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

a: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

b: ΔHDB vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên \(DI=IH=IB\)

Xét ΔIHD có IH=ID

nên ΔIHD cân tại I

=>\(\widehat{IHD}=\widehat{IDH}\)

mà \(\widehat{IHD}=\widehat{HCA}\)(hai góc đồng vị, HD//AC)

nên \(\widehat{IDH}=\widehat{HCA}\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{EAH}=\widehat{EDH}\)

=>\(\widehat{EDH}=\widehat{HAC}\)

\(\widehat{IDE}=\widehat{IDH}+\widehat{EDH}\)

\(=\widehat{HAC}+\widehat{HCA}\)

\(=90^0\)

=>DI\(\)\(\perp\)DE

c: ΔCEH vuông tại E

mà EK là đường trung tuyến

nên EK=KH=KC

Xét ΔKEH có KE=KH

nên ΔKEH cân tại K

=>\(\widehat{KEH}=\widehat{KHE}\)

mà \(\widehat{KHE}=\widehat{CBA}\)(hai góc đồng vị, HE//AB)

nên \(\widehat{KEH}=\widehat{CBA}=\widehat{HBA}\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{HAD}=\widehat{HED}\)

=>\(\widehat{HED}=\widehat{HAB}\)

\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)

=>KE\(\perp\)DE

Ta có: KE\(\perp\)DE

ID\(\perp\)KE

Do đó: ID//KE

Xét tứ giác KEDI có

KE//DI

KE\(\perp\)ED

Do đó: KEDI là hình thang vuông

d: DI=1cm

mà HB=2DI

nên HB=2*1=2=2cm

EK=4cm

mà CH=2EK

nên \(CH=2\cdot4=8cm\)

BC=BH+CH

=2+8

=10cm

Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot10=30\left(cm^2\right)\)