Đáp án A

Thiết diện là Δ M N P

Đáp án A

Hiển nhiên thiết diện của hình tứ diện A B C D  khi cắt bởi mặt phẳng M N P  là một tam giác

Đáp án A

Hiển nhiên thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) là một tam giác.

Đáp án C

Xét (MNE) và (BCD) có:

E là điểm chung

BC // MN ⇒ BC // (MNE)

⇒ Giao tuyến của 2 mặt phẳng là đường thẳng d đi qua E và song song BC

d cắt BD tại H

⇒ MNEH là thiết diện cần tìm

Xét tứ giác MNEH có MN // EH ( // BC)

⇒ MNEH là hình thang

a) 

⇒ (α) ∩ (ABC) = MN và MN // AB

Ta có N ∈ (BCD) và 

Nên ⇒ (α) ∩ (BCD) = NP và NP // CD

Ta có P ∈ (ABD)

Và  nên ⇒ (α) ∩ (ABD) = PQ và PQ // AB

 nên ⇒ (α) ∩ (ACD) = MQ và MQ // CD

Do đó MN // PQ và NP // MQ, Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b) Ta có: MP ∩ NQ = O. Gọi I là trung điểm của CD.

Trong tam giác ACD có : MQ // CD ⇒ AI cắt MQ tại trung điểm E của MQ.

Trong tam giác ACD có : NP // CD ⇒ BI cắt NP tại trung điểm F của NP.

Vì MNPQ là hình bình hành nên ta có

EF // MN ⇒ EF // AB

Trong ΔABI ta có EF // AB suy ra : IO cắt AB tại trung điểm J

⇒ I, O, J thẳng hàng

⇒ O ∈ IJ cố định.

Vì M di động trên đoạn AC nên Ochạy trong đoạn IJ .

Vậy tập hợp các điểm O là đoạn IJ.

Trong mp (ACD), kéo dài IJ cắt CD tại E thì E là giao điểm của CD và (IJK)

Đáp án B

Xét (MNK) và (ABD) có:

N là điểm chung

AB // MK ⇒ A B ⫽ M N K

⇒ Giao tuyến của 2 mặt phẳng là đường thẳng d đi qua N và song song AB

d cắt AB tại điểm F cần tìm

Vì FN // AB ( cách dựng)

+) Do AM = 3MD; BN = 3NC suy ra:

+) Do P và Q lần lượt là trung điểm của AD và BC nên :

- Từ (1) và (2) suy ra: 

- Suy ra: M là trung điểm của DP; N là trung điểm CQ.

+) Ta có: