1) \(Q=-x\) khi:

\(\dfrac{x-3}{x+1}=-x\)

\(\Leftrightarrow x-3=-x\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x-3=-x^2-x\)

\(\Leftrightarrow x-3+x^2+x\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-3\end{matrix}\right.\)

2) \(Q< 1\) khi:

\(\dfrac{x-3}{x+1}< 1\)

\(\Leftrightarrow x-3< x+1\)

\(\Leftrightarrow x-x< 1+3\)

\(\Leftrightarrow0< 4\) (luôn đúng) 

Vậy \(Q< 0\) với mọi x 

3) \(Q=m\) khi:

\(\dfrac{x-3}{x+1}=m\)

\(\Leftrightarrow x-3=m\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x-3=mx+m\)

\(\Leftrightarrow x-mx=m+3\)

\(\Leftrightarrow x\left(1-m\right)=m+3\)

\(\Leftrightarrow1-m\ne0\)

\(\Leftrightarrow m\ne1\)

phương trình hoành độ giao điểm của f(x) với y = -1 là

x⁴ - (3m + 2)x² + 3m = -1

⇔ x⁴ - (3m + 2)x² + 3m + 1 = 0 (1)

Đặt x² = t (ĐK : t ≥ 0)

Phương trình trở thành 

t² - (3m + 2)t + 3m + 1 = 0 (2)

Để (1) có 4 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 thì (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn 0 < t < 4

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}9-9m< 0\\3m+1>0\end{matrix}\right.\) (cái này bạn vẽ bảng biến thiên ra là xong)

⇒ \(\dfrac{-1}{3}< m< 1\) 

Vậy tập hợp giá trị m cần tìm là \(\left(\dfrac{-1}{3};1\right)\)

\(M=\frac{10x^2-15x+8x-12+7}{2x-3}=\frac{\left(2x-3\right)\left(5x+4\right)+7}{2x-3}=5x+4+\frac{7}{2x-3}\)

=> M nguyên <=> 5x+4 nguyên và 7/2x-3 nguyên <=> x nguyên và 2x-3 thuộc Ư(7) <=> 2x-3 thuộc (+-1; +-7)

=> M nguyên <=> x thuộc (-2;1;2;5)

Ví dụ : Tìm tập hợp các ước của 24

Ư(24) = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 }

Ta có thể tìm các ước của a bằng cách lần lượt chia a cho

các số tự nhiên từ 1 đến a để xét xem a chia hết cho những

số nào ,khi đó các số ấy là ước của a

Ví dụ : Tìm tập hợp các ước của 24
Ư(24) = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 }
Ta có thể tìm các ước của a bằng cách lần lượt chia a cho
các số tự nhiên từ 1 đến a để xét xem a chia hết cho những
số nào ,khi đó các số ấy là ước của a

a: \(M=\left(\dfrac{x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\dfrac{6}{3\left(x-2\right)}+\dfrac{1}{x+2}\right):\left(x-2+\dfrac{10-x^2}{x+2}\right)\)

\(=\left(\dfrac{x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{1}{x+2}\right):\dfrac{x^2-4+10-x^2}{x+2}\)

\(=\dfrac{x-2x-4+x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\cdot\dfrac{x+2}{6}\)

\(=\dfrac{-1}{x-2}\)

b: Để M đạt giá trị lớn nhất thì x-2=-1

hay x=1

c: Để M=3x thì \(\dfrac{-1}{x-2}=3x\)

\(\Leftrightarrow3x^2-6x+1=0\)

\(\text{Δ}=\left(-6\right)^2-4\cdot3\cdot1=36-12=24\)

Vì Δ>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{6-2\sqrt{6}}{6}=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\\x_2=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\end{matrix}\right.\)