Có: 1n + 2n + 3n + 4n

= (1 + 2 + 3 + 4)n

= 10n

Vì 10 ⋮ 5 nên 10n ⋮ 5 (n ∈ N)

Vậy để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5 thì n ∈ N.

Để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5, ta cần tìm số tự nhiên n sao cho tổng này chia hết cho 5.

Ta có: 1n + 2n + 3n + 4n = 10n

Để 10n chia hết cho 5, ta cần n chia hết cho 5.

Vậy, số tự nhiên n cần tìm là các số chia hết cho 5.

 ⇒ Các số tự nhiên n chia hết cho 5.

--thodagbun--

Lời giải:
$A=1^n+2^n+3^n+4^n=1+2^n+3^n+4^n$

Nếu $n=4k$ thì:

$A=1+2^n+3^n+4^n=1+2^{4k}+3^{4k}+4^{4k}$

$=1+16^k+81^k+16^{2k}$

$\equiv 1+1+1+1\equiv 4\pmod 5$

---------------

Nếu $n=4k+1$

$A=1+2^n+3^n+4^n=1+2^{4k+1}+3^{4k+1}+4^{4k+1}$

$=1+16^k.2+81^k.3+16^{2k}.4$

$\equiv 1+1^k.2+1^k.3+1^k.4\equiv 10\equiv 0\pmod 5$

Nếu $n=4k+2$

$A=1+2^n+3^n+4^n=1+2^{4k+2}+3^{4k+2}+4^{4k+2}$

$=1+16^k.2^2+81^k.3^2+16^{2k}.4^2$

$\equiv 1+1^k.2^2+1^k.3^2+1^{2k}.4^2\equiv 30\equiv 0\pmod 5$

Nếu $n=4k+3$

$A=1+2^n+3^n+4^n=1+2^{4k+3}+3^{4k+3}+4^{4k+3}$

$=1+16^k.2^3+81^k.3^3+16^{2k}.4^3$

$\equiv 1+1^k.2^3+1^k.3^3+1^{2k}.4^3\equiv 100\equiv 0\pmod 5$

Vậy chỉ cần $n$ không chia hết cho $4$ thì $1^n+2^n+3^n+4^n$ sẽ chia hết cho $5$

câu b và d bn tham khảo ở link này https://olm.vn/hoi-dap/detail/196836149523.html

câu a và câu c bn tham khảo ở link sau https://olm.vn/hoi-dap/detail/65130381377.html

a,

3.(n-1)+4:n-1

Vì n+3:n-1=>4:n-1

(n-1)thuộc Ư(4){1,2,4}

n-1=1=>2n=2

vậy n=1

n-1=2=>3n=3=>n-2

n-1=4=>5n=5=>n-4

a) \(6⋮\left(n-2\right)\Leftrightarrow\left(n-2\right)\inƯ\left(6\right)\)
Có \(Ư\left(6\right)=\left\{1;2;3;6\right\}\)
=>\(\left(n-2\right)\in\left\{1;2;3;6\right\}\)
Ta có bảng:

Vậy \(n\in\left\{3;4;5;8\right\}\)

b) \(\left(n+3\right)⋮\left(n-1\right)\Leftrightarrow\frac{n+3}{n-1}\)là số tự nhiên
Có:\(\frac{n+3}{n-1}=\frac{n-1+4}{n-1}=\frac{n-1}{n-1}+\frac{4}{n-1}=1+\frac{4}{n-1}\)
Vì 1 là số tự nhiên nên:
Để \(\frac{n+3}{n-1}\)là số tự nhiên thì \(\frac{4}{n-1}\)phải là số tự nhiên.
Để \(\frac{4}{n-1}\)là số tự nhiên thì: \(4⋮\left(n-1\right)\)
                                            hay: \(\left(n-1\right)\inƯ\left(4\right)\)
Có \(Ư\left(4\right)=\left\{1;2;4\right\}\)
\(\Rightarrow\left(n-1\right)\in\left\{1;2;4\right\}\)
Ta có bảng:

Vậy \(n\in\left\{2;3;5\right\}\)

c) \(\left(3n-5\right)⋮\left(n+1\right)\Leftrightarrow\frac{3n-5}{n+1}\) là số tự nhiên
Có \(\frac{3n-5}{n+1}=\frac{3n+3-3-5}{n+1}=\frac{3\left(n+1\right)-8}{n+1}=\frac{3\left(n+1\right)}{n+1}+\frac{-8}{n+1}=3+\frac{-8}{n+1}\)
Vì 3 là số tự nhiên nên:
Để \(\frac{3n-5}{n+1}\)là số tự nhiên thì \(\frac{-8}{n+1}\)phải là số tự nhiên.
Để \(\frac{-8}{n+1}\)là số tự nhiên thì \(\left(-8\right)⋮\left(n+1\right)\)
                                           hay: \(\left(n+1\right)\inƯ\left(-8\right)\)
Có \(Ư\left(-8\right)=\left\{1;2;4;8\right\}\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)\in\left\{1;2;4;8\right\}\)
Ta có bảng:

Vậy \(n\in\left\{0;1;3;7\right\}\)

11:

n^3-n^2+2n+7 chia hết cho n^2+1

=>n^3+n-n^2-1+n+8 chia hết cho n^2+1

=>n+8 chia hết cho n^2+1

=>(n+8)(n-8) chia hết cho n^2+1

=>n^2-64 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1-65 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1 thuộc Ư(65)

=>n^2+1 thuộc {1;5;13;65}

=>n^2 thuộc {0;4;12;64}

mà n là số tự nhiên

nên n thuộc {0;2;8}

Thử lại, ta sẽ thấy n=8 không thỏa mãn

=>\(n\in\left\{0;2\right\}\)

Mình mẫu đầu với cuối nhé:

a)  Đặt \(ƯCLN\left(3n+4,3n+7\right)=d\)  

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3n+4⋮d\\3n+7⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(3n+7\right)-\left(3n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3⋮d\)

 \(\Rightarrow d\in\left\{1,3\right\}\)

Nhưng do \(3n+4,3n+7⋮̸3\) nên \(d\ne3\Rightarrow d=1\)

Vậy \(ƯCLN\left(3n+4,3n+7\right)=1\) hay \(3n+4,3n+7\) nguyên tố cùng nhau.

 e) \(ƯCLN\left(2n+3,3n+5\right)=d\)

 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\3n+5⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+9⋮d\\6n+10⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(6n+10\right)-\left(6n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\) \(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(ƯCLN\left(2n+3,3n+5\right)=1\), ta có đpcm.

mình xin lỗi mình đánh máy sai câu hỏi như này

 A) n+7 chia hết cho n+2 ( với n khác 2 )

 B) 3n+1 chia hết cho 2n+3  

a) P = (4n-5)/(2n-1) = (4n-2 - 3)/(2n-1) = 2 - 3/(2n-1) 

P thuộc Z khi và chỉ khi 3/(2n-1) thuộc Z <=> 2n-1 là ước của 3 

* 2n - 1 = -1 <=> n = 0 

* 2n - 1 = -3 <=> n = -1 (loại, vì n tự nhiên) 

* 2n - 1 = 1 <=> n = 1 

* 2n - 1 = 3 <=> n = 2 

Vậy có 3 giá trị của n tự nhiên là: 0, 1, 2 

*kí hiệu thuộc vs ước bạn tự viết nha*

b) mk lười làm nên bạn tham khảo ở link này nha ^^: https://olm.vn/hoi-dap/question/12009.html

a, ( 4n - 5 ) chia het cho ( 2n - 1 )

   => ( n + n + n + n - 1 - 1 - 1-1 -1) chia het cho ( 2n - 1 )

=>.  ( 2n + 2n - 1 - 1 - 3 ) chia het cho ( 2n -1 )

=> [ ( 2n - 1 ) + ( 2n - 1 ) - 3 ] chia het cho (2n-1)

Vi ( 2n-1) chia het cho ( 2n - 1 )

=> 3 chia het cho ( 2n - 1 )

=> 2n - 1 thuoc U(3)

=> 2n - 1 thuoc { 1; 3}

=> 2n thuoc { 0 ; 2 }

=> n thuoc { 0 ; 1 }

Vay n thuoc { 0; 2 }

Phan b, ban lm tuong tu nha !

Tham khao nha !

ta có 4n+ 7 chia hết cho 2n +1 (1)
2n+ 1 chia hết cho 2n+1
=> 2(2n+1) chia hết cho 2n+1
=> 4n+2 chia hết cho 2n+1 (2)
từ (1) và (2)