Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.

Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$

$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$

$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$

$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$

Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)

$\Rightarrow d=1$

Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau. 

Ta có đpcm.

Bài 2:

a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$

$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. 

b.

Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$

$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.

Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Bài 2:

c.

Gọi $d=ƯCLN(2n+1, n+1)$

$\Rightarrow 2n+1\vdots d; n+1\vdots d$
$\Rightarrow 2(n+1)-(2n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $ƯCLN(2n+1, n+1)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

d.

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 3n+4)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 3n+4\vdots d$

$\Rightarrow 3n+4-3(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(n+1, 3n+4)=1$

$\Rightarrow$ 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Đặt d ϵ Ư( 2n+1; 2n+3) ĐK: d ϵ N*

=> 2n+1 chia hết cho d, 2n+3 chia hết cho d

=> (2n+3)-(2n+1) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d => d ϵ Ư(2) => d ϵ {1;2} (vì d ϵ N*)

Mặt khác, d là ước của 2 số lẻ 2n+1 và 2n+3 nên d=1.

=> Ư(2n+1; 2n+3)=1

Vậy 2n+1 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Gọi UCLN(2n+1; 2n+3) là d

Ta có:2n+1 chia hết cho d =>2n+3-2n+1 chia hết cho d =>2chia hết cho d =>d thuộc {1:2}

          2n+3 chia hết cho d 

Mà 2n+1 là số lẻ =>d Không thuộc {2}

Vậy d thuộc {1}=>2n+1 và 2n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau. 

\(\text{Gọi }\left(2n+1,2n+3\right)=d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(2n+1\right)⋮d\\\left(2n+3\right)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+1\right)=2⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

\(\text{Dễ thấy }\hept{\begin{cases}2n+1\text{không chia hết cho 2 }\\2n+3\text{không chia hết cho 2 }\end{cases}}\)

\(\Rightarrow d\ne2\Rightarrow d=1\)

\(\text{Vậy }\left(2n+1,2n+3\right)=1\)

Gọi d = ƯCLN(2n + 1; 2n + 3) (d thuộc N*)

=> 2n + 1 chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d

=> (2n + 3) - (2n + 1) chia hết cho d

=> 2n + 2 - 2n - 1 chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

Mà 2n + 1 lẻ => d lẻ => d = 1

=> ƯCLN(2n + 1; 2n + 3) = 1

Chứng tỏ ...

Chứng tỏ rằng (2n+1) và (2n+3) là cặp số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.

Gọi d = ƯCLN(2n + 1; 2n + 3) (d thuộc N*)

=> 2n + 1 chia hết cho d; 2n + 3 chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

Mà 2n + 1 lẻ => d lẻ => d = 1

=> ƯCLN(2n + 1; 2n + 3) = 1

CHứng tỏ

gọi  d lkaf ucln

Gọi d=ƯCLN(2n+1;2n^2-1)

=>2n+1 chia hết cho d và 2n^2-1 chia hết cho d

=>2n^2+n chia hết cho d và 2n^2-1 chia hết cho d

=>n+1 chia hết cho d và 2n+1 chia hết cho d

=>2n+2 chia hết cho d và 2n+1 chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>2n+1 và 2n^2-1 là hai số nguyên tố cùng nhau

goi UCLN(n,2n+1)=d

=>n chia hết cho d

2n+1 chia hết cho d

=>2n chia hết cho d

2n+1 chia hết cho d

=>(2n+1)-(2n) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>UCLN(n,2n+1)=1

=> n và 2n +1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

vay ...

gọi UCLN(n,2n+1)=d

=>n chia hết cho d

2n+1 chia hết cho d

=>2n chia hết cho d

2n+1 chia hết cho d

=>(2n+1)-(2n) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>UCLN(n,2n+1)=1

=> n và 2n +1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

vậy ...

Đề sai, vì khi n = 7 thì 2n + 1 = 15 và n + 2 = 9; không phải là hai số nguyên tố cùng nhau

Gọi ƯCLN_{(2n+1 ; n )} là d

=> ( 2n + 1 ) - 2n \(⋮\) d

=> 1 \(⋮\) d

=> d = 1

Vậy ..........