a: Xét ΔHAB có 

M là trung điểm của HA

N là trung điểm của HB

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//AB

hay ABNM là hình thang

a: Xét tứ giác AHCE có

D là trung điểm chung của aC và HE

=>AHCE là hình bình hành

Hình bình hành AHCE có \(\widehat{AHC}=90^0\)

nên AHCE là hình chữ nhật

b:Ta có: AHCE là hình bình hành

=>AE//CH và AE=CH

=>AE//IH

Xét tứ giác AEHI có

AE//HI

AI//EH

Do đó: AEHI là hình bình hành

c: Ta có: AEHI là hình bình hành

=>AE=HI

mà AE=HC

nên HI=HC

=>H là trung điểm của CI

Xét tứ giác ACKI có

H là trung điểm chung của AK và CI

=>ACKI là hình bình hành

Hình bình hành ACKI có AK\(\perp\)CI

nên ACKI là hình thoi

a: Xét tứ giác AEMF có

AE//MF

AF//ME

Do đó: AEMF là hình bình hành

Hình bình hành AEMF có \(\widehat{FAE}=90^0\)

nên AEMF là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

E là trung điểm của BA

EM//AC

Do đó: M là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MF//AB

Do đó: F là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>EF là đường trung bình

=>EF//BC

=>EF//MH

ΔHAC vuông tại H

mà HF là đường trung tuyến

nên \(HF=AF\)

mà AF=ME(AEMF là hình chữ nhật)

nên ME=FH

Xét tứ giác MHEF có MH//EF

nên MHEFlà hình thang

mà ME=FH

nên MHEF là hình thang cân

*Bạn tự vẽ kình nha

a) Xét \(\Delta\) IHC có J, M là trung điểm của IH,IC

=> JM là đường trung bình

=> +) JM = 1/2 HC

     +) JM // HC 

Có AK // BC mà H thuộc BC => AK // HC

                                            mà JM // HC (cmt) 

=>AK // JM

Lại có N là trung điểm của AK => +) N\(\in\)AK 

                                                  mà AK // JM (cmt) => AN // JM (1)

                                                      +) AN = 1/2 AK

Xét tứ giác AKNH có AK // Hc , AH // KC

=> AKNH là hình bình hành => AK = HC

                                            Có : AN = 1/2 AK

                                                    JM = 1/2 HC

=> AN = JM (2)

Từ (1) và (2) => tứ giác ANMJ là hình bình hành

Xem lại đề nhà bạn, BI vuông góc với MN thì hơi vô lí, BI vuông góc với AN thôi

Gọi gia điểm của AJ và BI là G. và giao điểm của AH và BI là O.

Ta c/m đc : IH=IC => \(\frac{1}{2}.IH=\frac{1}{2}.IC\)=> JH=\(\frac{1}{2}.IC\) (vì  J là t/đ của HI)=> \(\frac{JH}{IC}=\frac{1}{2}\)  

Mặt khác : \(\frac{AH}{BC}=\frac{1}{2}\) (vì tg ABC vuông cân tai A)  . Nên \(\frac{JH}{IC}=\frac{AH}{BC}\)

xét tg AJH và tg BIC có: \(\frac{JH}{IC}=\frac{AH}{BC}\)(cmt) ; ^AHJ=^BCI (cùng phụ vs ^IHC)

=> tg AJH đ.dạng vs tg BIC(c.g.c)=> ^HAJ=^CBI   

Xét tg BOH có: ^OBH+^BHO+^HOB=180( t/c tổng các góc trong tg)=> ^OBH+90+^HOB=180 (vì ^BHO=90)      (1)

Xét tg AOG có: ^OAG+^AGO+^GOA=180(......................................)   (2)

Từ (1),(2) => ^OBH+90+^HOB=^OAG+^AGO+^GOA

mà  ^OBH=^OAG (vì ^HAJ=^CBI) ; ^HOB=^GOA (đ.đ) nên ^AGO=90 => BI vuông góc vs AJ. Mà AJ//MN(vì tg AJMN là hbh) nên BI vuông góc vs MN (đpcm)

1: Xét tứ giác AECF có

M là trung điểm chung của AC và EF

=>AECF là hình bình hành

2:

Ta có: ΔHAC vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên HM=AC/2

Xét ΔMAH và ΔMKF có

\(\widehat{MAH}=\widehat{MFK}\)(hai góc so le trong, AH//FK)

\(\widehat{AMH}=\widehat{KMF}\)

Do đó: ΔMAH đồng dạng với ΔMKF

=>\(\dfrac{AH}{KA}=\dfrac{MH}{MF}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AC}{\dfrac{1}{2}FE}=\dfrac{AC}{FE}\)

a) Xét tứ giác ADME có:

∠(DAE) = ∠(ADM) = ∠(AEM) = 90o

⇒ Tứ giác ADME là hình chữ nhật (có ba góc vuông).

b) Ta có ME // AB ( cùng vuông góc AC)

M là trung điểm của BC (gt)

⇒ E là trung điểm của AC.

Ta có E là trung điểm của AC (cmt)

Chứng minh tương tự ta có D là trung điểm của AB

Do đó DE là đường trung bình của ΔABC

⇒ DE // BC và DE = BC/2 hay DE // MC và DE = MC

⇒ Tứ giác CMDE là hình bình hành.

c) Ta có DE // HM (cmt) ⇒ MHDE là hình thang (1)

Lại có HE = AC/2 (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông AHC)

DM = AC/2 (DM là đường trung bình của ΔABC) ⇒ HE = DM (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MHDE là hình thang cân.

d) Gọi I là giao điểm của AH và DE. Xét ΔAHB có D là trung điểm của AB, DI // BH (cmt) ⇒ I là trung điểm của AH

Xét ΔDIH và ΔKIA có

IH = IA

∠DIH = ∠AIK (đối đỉnh),

∠H1 = ∠A1(so le trong)

ΔDIH = ΔKIA (g.c.g)

⇒ ID = IK

Tứ giác ADHK có ID = IK, IA = IH (cmt) ⇒ DHK là hình bình hành

⇒ HK // DA mà DA ⊥ AC ⇒ HK ⊥ AC

1) Ta có:

\(\hept{\begin{cases}IM=\frac{1}{2}HC\\AN=\frac{1}{2}AK\\HC=AK\end{cases}}\)\(\Rightarrow IM=AN\)

mà IM // AN

\(\Rightarrow\)AJMN là hình bình hành.

Sửa IM thành JM nhé. Mình nhầm.

a/

Ta có

FA=FC; GB=GC => GF là đường trung bình của tg ABC

=> GF//AB Mà \(AB\perp AC\)

\(\Rightarrow GF\perp AC\)

=> AEGF là hình thang vuông tại A và F

b/

EI//BF (gt)

GF//AB => FI//BE

=> BEIF là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

c/

Ta có GF là đường trung bình của tg ABC \(\Rightarrow GF=\dfrac{1}{2}AB\)

 BEIF là hbh (cmt) =>FI=EB

Mà \(EA=EB=\dfrac{1}{2}AB\)

=> GF=FI

Ta có

FA=FC

=> AGCI là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Mà \(GF\perp AC\Rightarrow GI\perp AC\)

=> AGCI là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)

d/

Để AGCI là hình vuông \(\Rightarrow AG\perp BC\) => AG là đường cao của tg ABC

Mà GB=GC => AG là đường trung tuyến của tg ABC

=> tg ABC là tg cân tại A (Tam giác có đường cao và đồng thời là đường trung tuyến là tg cân)

Mà \(\widehat{A}=90^o\) (gt)

=> Đk để AGCI là hình vuông thì tg ABC phải là tg vuông cân tại A