1. a)  
 
 
 
Ta có  .

TH1:  .
Và  . Từ đây ta suy ra  .

Khả năng 1.  và  .

Khả năng 2.  . Khi đó  .

+ Với  thì  .
+ Với  thì  .

Khả năng 3.  Khi đó  .

+ Với  thì  .
+ Với  thì  .

TH2:  .
Khi đó ta cũng có  .
Tiếp tục giới hạn ta cũng được  . Xét 3 khả năng:

Khả năng 1: Với  . Và  .

Khả năng 2: Với  . Ta cũng có:  .
+ Với  thì  .
+ Với  thì  .

Khả năng 3: Với  . Cũng có  .
+ Với  thì  .
+ Với  thì  .

TH3:  . Và  .

P/s: Làm một hồi rồi không biết đâu là cái kết quả nữa ???

\(2,\\ n=0\Leftrightarrow A=1\left(loại\right)\\ n=1\Leftrightarrow A=3\left(nhận\right)\\ n>1\Leftrightarrow A=n^{2012}-n^2+n^{2002}-n+n^2+n+1\\ \Leftrightarrow A=n^2\left[\left(n^3\right)^{670}-1\right]+n\left[\left(n^3\right)^{667}-1\right]+\left(n^2+n+1\right)\)

Ta có \(\left(n^3\right)^{670}-1⋮\left(n^3-1\right)=\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)⋮\left(n^2+n+1\right)\)

Tương tự \(\left(n^3\right)^{667}⋮\left(n^2+n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow A⋮\left(n^2+n+1\right);A>1\)

Vậy A là hợp số với \(n>1\)

Vậy \(n=1\)

\(3,\)

Đặt \(A=n^4+n^3+1\)

\(n=1\Leftrightarrow A=3\left(loại\right)\\ n\ge2\Leftrightarrow\left(2n^2+n-1\right)^2\le4A\le\left(2n^2+n\right)^2\\ \Leftrightarrow4A=\left(2n^2+n\right)^2\\ \Leftrightarrow4n^2+4n^3+4=4n^2+4n^3+n^2\\ \Leftrightarrow n^2=4\Leftrightarrow n=2\)

Vậy \(n=2\)

1. Vì p+3>2 =>p+3 là số lẻ =>p là số chẵn mà p là số nguyên tố =>p=2

2.Ta gọi ƯCLN(n+1;2n+3) là a với a là số tự nhiên

=>n+1;2n+3 chia hết cho a

=>2.(n+1);2n+3 chia hết cho a

=>2n+2;2n+3 chia hết cho a

=>(2n+3)-(2n+2) chia hết cho a

=>1 chia hết cho a

=>a=1

=>n+1 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau

\(A=\left(n+5\right)^2-\left(n-6\right)^2\)

\(=\left(n+5-n+6\right)\left(n+5+n-6\right)\)

\(=11\left(2n-1\right)\)

Để \(A\) là số nguyên tố thì \(11\left(2n-1\right)\) là số nguyên tố

mà 11 là số nguyên tố \(\Rightarrow2n-1=1\Rightarrow n=1\left(tm\right)\) 

#\(Urushi\)

Ta có : k là ƯCLN của 7n + 10 và 5n + 7 
Vậy : 7n + 10 chia hết cho k ; 5n + 7 chia hết cho k 
Hay 5(7n + 10 ) và 7(5n + 7 ) 
      35n + 50 và 35n + 49 chia hết cho k 
=> ĐPCM 
Hai bài kia bạn làm tương tư nhé , chúc may mắn 

Có \(B=n^4-27n^2+121\)

\(=n^4+22n^2+121-49n^2\)

\(=\left(n^2+11\right)^2-\left(7n\right)^2\)

\(=\left(n^2+11-7n\right)\cdot\left(n^2+11+7n\right)\)

Vì \(n\in N\)nên \(n^2+7n+11>11\)

Nếu \(n^2-7n+11< 0\Rightarrow B< 0\left(loại\right)\)

Nếu \(n^2-7n+11=0\Rightarrow B=0\left(loại\right)\)

Nếu \(n^2-7n+11>1\)(loại vì B là tích của 2 số nguyên dương > 1 nên ko là số nguyên tố)

Vậy nên \(n^2-7n+11=1\)

\(\Leftrightarrow n^2-7n+10=0\)

\(\Leftrightarrow n^2-2n-5n+10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(n-2\right)\cdot\left(n-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n-2=0\\n-5=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=2\\n=5\end{cases}}}\)

Vậy.............

a, Gọi d là ƯCLN  của n + 2 và 2n + 3

\(\Rightarrow n+2⋮d\) 

\(\Rightarrow2\left(n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n+4⋮d\)

Mà \(2n+3⋮d\Rightarrow\left(2n+4\right)-\left(2n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)\) mà d là ƯCLN \(\Rightarrow d=1\)

=> 2 số n + 2 và 2n + 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

b, Gọi d là ƯCLN của 3n + 1 và 2n + 1

\(3n+1⋮d\) và \(2n+1⋮d\)

\(\Rightarrow2\left(3n+1\right)⋮d\)và \(3\left(2n+1\right)⋮d\) 

\(\Rightarrow6n+2⋮d\) và \(6n+3⋮d\)

\(\Rightarrow\left(6n+3\right)-\left(6n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)\)mà d là ƯCLN => d = 1

=> 2 số 3n +1 và 2n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau

\(B=n^4-27n^2+121\)

\(B=n^4+22n^2+121-49n^2\)

\(B=\left(n^2+11\right)^2-49n^2\)

\(B=\left(n^2+11-7n\right)\left(n^2+11+7n\right)\)

Vì n là số tự nhiên => \(n^2+11+7n>11\)

Để B là số nguyên tố

=> \(n^2-7n+11=1\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=2\\n=5\end{cases}}\)

what