Bài 1 :

Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số không âm

\(\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+1\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^6}{b^6}}}=\frac{3a}{b}\)

\(\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+1\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{b^6}{c^6}}}=\frac{3b}{c}\)

\(\sqrt{\frac{c^3}{a^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^3}}+1\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{c^6}{a^6}}}=\frac{3c}{a}\)

Cộng theo vế , ta được :

\(2\left(\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^3}}\right)+3\ge2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)

\(\ge2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)+3\)

\(\Rightarrow2\left(\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^3}}\right)\ge2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^3}}\right)\ge\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\)

Vậy \(\Rightarrow\left(\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^3}}\right)\ge\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\left(đpcm\right)\)

Lời giải:

\(\text{VT}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+b-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+c-\frac{ca^2}{a^2+c^2}=(a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2}\right)(1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{ab^2}{a^2+b^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2}\leq \frac{ab^2}{2ab}+\frac{bc^2}{2bc}+\frac{ca^2}{2ac}=\frac{a+b+c}{2}(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow \text{VT}\geq a+b+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{b^2c^2}}\ge\frac{2a}{c}\) ; \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}\) ; \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

2. \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc.ac}{ab}}=2c\) ; \(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2b\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

1) Áp dụng bđt \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\)  :

Ta có : \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)

Easy nà!

Đặt \(\frac{a}{b}=x;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z\) thì xyz = 1

BĐT trở thành: \(x^2+y^2+z^2\ge x+y+z\)

Áp dụng BĐT AM-GM,ta có: \(VT+1=\left(x^2+y^2\right)+\left(z^2+1\right)\)

\(\ge2xy+2z\ge2\sqrt{2xy.2z}=4\sqrt{xyz}=4\)

Suy ra \(VT\ge3\) (1)

Lại có: \(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)

Cộng theo vế 3 BĐT: \(VT+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

Kết hợp (1) suy ra \(2VT\ge VT+3\ge2\left(x+y+z\right)=2VP\)

Từ đây,ta có:\(2VT\ge2VP\Rightarrow VT\ge VP^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

mình nghĩ đề bài sai một chỗ :\(\frac{a^2}{b^2}\)chứ ko phải là \(\frac{a}{b^2}\)

khó quá chưa học

mình chịu thôi bạn ơi mình mới học lớp 5 ak

Lời giải:

\(\text{BĐT}\Leftrightarrow \frac{\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}}{abc}\geq\frac{ab+bc+ac}{abc}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ac\) \((\star)\)

Điều này hiển nhiên đúng vì theo Cauchy-SChwarz kết hợp AM-GM:

\(\text{VT}_{\star}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\geq ab+bc+ac\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

1.

\(P=\frac{a^4}{abc}+\frac{b^4}{abc}+\frac{c^4}{abc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}{3abc\left(a+b+c\right)}\)

\(P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right).3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}}{3abc\left(a+b+c\right)}=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)

Dấu "=" khi \(a=b=c\)

2.

\(P=\sum\frac{a^2}{ab+2ac+3ad}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4.\frac{3}{8}\left(a+b+c+d\right)^2}=\frac{2}{3}\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=d\)

Thục Trinh, tran nguyen bao quan, Phùng Tuệ Minh, Ribi Nkok Ngok, Lê Nguyễn Ngọc Nhi, Tạ Thị Diễm Quỳnh,

Nguyễn Huy Thắng, ?Amanda?, saint suppapong udomkaewkanjana

Help me!

Bài thứ hai đó áp dụng bđt cauchy showas là ra rồi sử dụng tch bắc cầu tệ.