Question

Cho các số thực dương a,b,c. CMR

\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{c^2+b^2}+\frac{c^3}{a^2+c^2}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Answer 1

Lời giải:

\(\text{VT}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+b-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+c-\frac{ca^2}{a^2+c^2}=(a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2}\right)(1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{ab^2}{a^2+b^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2}\leq \frac{ab^2}{2ab}+\frac{bc^2}{2bc}+\frac{ca^2}{2ac}=\frac{a+b+c}{2}(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow \text{VT}\geq a+b+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$