Cho x,y là 2 số dương thoả mãn: \(x+y\le1.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(S=xy+\dfrac{1}{xy}\)
cho các số thực dương x,y thỏa mãn \(x+\dfrac{1}{y}\le1\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\dfrac{x^2-2xy+2y^2}{xy+y^2}\)
Cho a, y, z là các số thực dương thoả mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\le1;x+\dfrac{2}{z}\le3\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=y^2+2z^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\le1\Rightarrow\dfrac{2}{y}\le1-\dfrac{1}{x}\Rightarrow y\ge\dfrac{2x}{x-1}=2+\dfrac{2}{x-1}\)
\(x+\dfrac{2}{z}\le3\Rightarrow x< 3;\dfrac{2}{z}\le3-x\Rightarrow z\ge\dfrac{2}{3-x}\Rightarrow y+z\ge2+\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{2}{3-x}\)
Lúc này ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
Ta có:
\(6^2\le\left(y+z\right)^2=\left(\sqrt{2}\dfrac{y}{\sqrt{2}}Z\right)^2\le3\left(\dfrac{y^2}{2}+z^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(y^2+2z^2\right)\)
\(\Rightarrow P\ge24\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(y=4,z=2\)
Vậy giá trị nhỏ nhật của P là 24
Cho x,y là số thực dương thỏa mãn:x+y\(\le1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:A=\(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{4}{xy}+8xy\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\left(\dfrac{1}{2xy}+8xy\right)+\dfrac{3}{xy}\)
\(A\ge\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\dfrac{8xy}{2xy}}+\dfrac{3}{\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}\ge20\)
\(A_{min}=20\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Cho các số thực dương x,y thoả mãn: (x+y-1)^2= xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=1/xy + 1/x^2+y^2 + căn(xy)/x+y
1, cho x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:x+y≤1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: K=\(4xy+\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}\)
\(K=\left(4xy+\dfrac{1}{4xy}\right)+\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{5}{4xy}\)
\(K\ge2\sqrt{\dfrac{4xy}{4xy}}+\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\ge2+4+5=11\)
\(K_{min}=11\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Cho x,y dương thỏa mãn : \(xy+1\le y\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(Q=\dfrac{x^2-2xy+2y^2}{xy+y^2}\)
\(y\ge xy+1\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{y}{x}}\ge2\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)
\(Q=\dfrac{1-\dfrac{2y}{x}+2\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{\dfrac{y}{x}+\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}\)
Đặt \(\dfrac{y}{x}=a\ge4\)
\(Q=\dfrac{2a^2-2a+1}{a^2+a}=\dfrac{2a^2-2a+1}{a^2+a}-\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{\left(a-4\right)\left(3a-1\right)}{4\left(a^2+1\right)}+\dfrac{5}{4}\ge\dfrac{5}{4}\)
\(Q_{min}=\dfrac{5}{4}\) khi \(a=4\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức A =\(\dfrac{1}{x+y+z}-\dfrac{2}{xy+yz+zx}\)
Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x + \(\dfrac{1}{y}\) ≤ 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\dfrac{x^2-2xy+2y^2}{xy+y^2}\)
\(1\ge x+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{y}}\Rightarrow\dfrac{x}{y}\le\dfrac{1}{4}\)
Đặt \(\dfrac{x}{y}=a\Rightarrow0< a\le\dfrac{1}{4}\)
\(P=\dfrac{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2-\dfrac{2x}{y}+2}{\dfrac{x}{y}+1}=\dfrac{a^2-2a+2}{a+1}=\dfrac{4a^2-8a+8}{4\left(a+1\right)}=\dfrac{4a^2-13a+3+5\left(a+1\right)}{4\left(a+1\right)}\)
\(P=\dfrac{5}{4}+\dfrac{\left(1-4a\right)\left(3-a\right)}{4\left(a+1\right)}\ge\dfrac{5}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=\dfrac{1}{4}\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
cho x;y là 2 số dương thay dổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
S = \(\dfrac{x+y^2}{x^2+y^2}+\dfrac{x+y^2}{xy}\)
Đề có vẻ không đầy đủ lắm. Bạn coi lại.
cho x;y là 2 số dương thay dổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
S = \(\dfrac{x+y^2}{x^2+y^2}+\dfrac{x+y^2}{xy}\)
(x+y)^2/x^2+y^2+(x+y)^2/xy>=(x+y)^2/x^2+y^2+xy
Dấu = xảy ra khi (x+y)^2/2xy=x/2y+y/2x+1
=>Min=2