a) Ta có OA=OB=OC =R => ABC vuông tại C ( có Trung tuyến OC =AB/2)

Kẻ OH ; OK lần lượt vuông góc với AC;BC => H là trung điểm của AC; K là TD của BC

=> OHCB là HCN =>AC=2HC =2OK =2.6=12

                              BC =2CK =2.OH =2.8=16

b)D đối xứng với A qua C mà BC vuông góc AC => BC là trung trực của AD => BA =BD

=> ABD cân tại B

c) Do AB cố định mà BD =AB =2R

=> D nằm trên đường tròn tâm B  Bán kính BD =AB =2R

a/Kẻ \(OH\perp AC,OK\perp BC.\)

Ta có :\(OA=OB,OH\text{//}BC\)

\(\Rightarrow OH\) là đường trung bình.

\(\Rightarrow BC=2OH=12\left(cm\right)\)

Ttự, ta có:\(AC=2OK=2.8=16\left(cm\right)\)

Ta có:\(AB=\sqrt{AC^2+BC^2}\)

\(=\sqrt{16^2+12^2}=20\left(cm\right).\)

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

Kéo dài OA cắt DE tại M

\(\Delta ABC\)nội tiếp ( O ) đường kính BC nên vuông tại A \(\Rightarrow\Delta ADE\)vuông tại A

Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta ADE\)có :

\(\widehat{BAC}=\widehat{EAD}=90^o\)

\(AB=AE\)

\(AD=AC\)

\(\Rightarrow\Delta ABC=\Delta AED\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{E_1}=\widehat{B_1}\)

OA  = OC nên \(\Delta OAC\)cân tại O \(\Rightarrow\widehat{A_2}=\widehat{C_1}\)

Mặt khác : \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)( hai góc đối đỉnh )

\(\Rightarrow\widehat{E_1}+\widehat{A_1}=\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=90^o\Rightarrow\widehat{EMO}=90^o\)

Vậy OA \(\perp\)DE

a: Xét tứ giác ABDC có

M là trung điểm chung của AD và BC

Do đó:ABDC là hình bình hành

=>AB//CD và AB=CD

b: Xét ΔABD có

AF,BM là trung tuyến

AF cắt BM tại I

=>I là trọng tâm

=>BI=2/3BM=2/3*1/2BC=1/3BC

Xét ΔACD có

DE,CM là trung tuyến

DE cắt CM tại K

Do đó: K là trọng tâm

=>CK=2/3CM=2/3*1/2*BC=1/3BC
c: BI+IK+KC=BC

=>1/3BC+IK+1/3BC=BC

=>IK=1/3BC

=>BI=IK=KC

d: Xét tứ giác AEDF có

AE//DF

AE=DF

Do đó: AEDF là hình bình hành

=>AD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

=>E,M,F thẳng hàng