\(A=\left(a^2+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{9}{4}+ab-3a-\dfrac{3}{2}b\right)+\dfrac{3}{4}\left(b^2-2b+1\right)+2020\)

\(A=\left(a+\dfrac{b}{2}-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(b-1\right)^2+2020\ge2020\)

\(A_{min}=2020\) khi \(\left(a;b\right)=\left(1;1\right)\)

Lời giải:
Gọi biểu thức trên là $A$

$4A=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+8064$

$=(4a^2+4ab+b^2)+3b^2-12a-12b+8064$

$=(2a+b)^2-6(2a+b)+(3b^2-6b)+8064$

$=(2a+b)^2-6(2a+b)+9+3(b^2-2b+1)+8052$

$=(2a+b-3)^2+3(b-1)^2+8052\geq 8052$

$\Rightarrow A\geq 2013$

Vậy $A_{\min}=2013$

\(M=a^2+ab+b^2-3a-3b+2001\)

\(\Rightarrow2M=2a^2+2ab+2b^2-6a-6b+4002\)

\(=\left(a^2+2ab+b^2\right)-4\left(a+b\right)+4+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+3996\)

\(=\left(a+b-2\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+3996\ge3996\)

\(\Rightarrow M\ge1998\)

Với các bài toán tìm max, min 2 biến kiểu như thế này, em hay cố gắng nhân M lên n lần để tạo thêm được các số hạng, sang đó ghép tạo thành các bình phương.

Cách làm như sau:

\(4M=4a^2+4ab+4b^2-12a-12b+8004\)

\(=\left(4a^2+4ab+b^2\right)-6\left(2a+b\right)+3\left(b^2-2b\right)+8004\)

\(=\left(2a+b\right)^2-6\left(2a+b\right)+9+3\left(b^2-2b+1\right)+7992\)

\(=\left(2a+b-3\right)^2+3\left(b-1\right)^2+7992\ge7992\)

Vậy 4M min = 7992, vây M min = 1998.

Vậy min M = 1998 khi \(\hept{\begin{cases}b-1=0\\2a+b-3=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=1\end{cases}}\)

Cho biểu thức M = a² + ab + b² – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

2:

a: =>a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2<=0

=>-(a^2-2ab+b^2)<=0

=>(a-b)^2>=0(luôn đúng)

b; =>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-3a^2-3b^2-3c^2<=0

=>-(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)<=0

=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)

\(\left(a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{9}{4}+ab-3a-\frac{3}{2}b\right)+\frac{3}{4}\left(b^2-2b+1\right)-\frac{9}{4}-\frac{3}{4}+2013\\ \)

\(\left(a+\frac{b-3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2+2013-3\)

GTNN=2010

Khi b=1 và a= 1

Hóa ra OLM vẫn còn ADMIN