Cho \(a,b,c\)là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a+b+c+\sqrt{abc}=4\)
Tính giá trị của biểu thức :\(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}+\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4-a\right)}+\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}-\sqrt{abc}\)
cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+\(\sqrt{abc}\)=4.
tính giá trị của biểu thức: A=\(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}+\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4-a\right)}+\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}-\sqrt{abc}\)
Ta có: \(a+b+c+\sqrt{abc}=4\)
\(\Rightarrow4a+4b+4c+4\sqrt{abc}=16\)
\(\Rightarrow4a+4\sqrt{abc}=16-4b-4c\)
\(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}=\sqrt{a\left(16-4b-4c+bc\right)}=\sqrt{a\left(4a+4\sqrt{abc}+bc\right)}\)
\(=\sqrt{4a^2+4a\sqrt{abc}+abc}=\sqrt{\left(2a+\sqrt{abc}\right)^2}=\left|2a+\sqrt{abc}\right|=2a+\sqrt{abc}\)
Tương tự:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{b\left(4-a\right)\left(4-c\right)}=2b+\sqrt{abc}\\\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}=2c+\sqrt{abc}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}+\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4-a\right)}+\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}-\sqrt{abc}=2a+2b+2c+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}=2\left(a+b+c+\sqrt{abc}\right)=8\)
Ta có \(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}=\sqrt{a\left(a+c+\sqrt{abc}\right)\left(4-c\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a^2+ac+a\sqrt{abc}\right)\left(4-c\right)}\\ =\sqrt{4a^2+ac\left(4-\sqrt{abc}-a-c\right)+4a\sqrt{abc}}\\ =\sqrt{4a^2+4a\sqrt{abc}+abc}=\sqrt{\left(2a+\sqrt{abc}\right)^2}\\ =2a+\sqrt{abc}\left(a,b,c>0\right)\)
Cmtt \(\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4-a\right)}=2b+\sqrt{abc};\sqrt{c\left(4-b\right)\left(4-a\right)}=2c+\sqrt{abc}\)
\(\Rightarrow A=2\left(a+b+c\right)+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}=2\left(a+b+c\right)+2\sqrt{abc}\\ A=2\left(a+b+c+\sqrt{abc}\right)=2\cdot4=8\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+\(\sqrt{abc}\)=4. tính giá trị biểu thức:
A=\(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}+\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4+a\right)}+\sqrt{c\left(4-b\right)\left(4-a\right)}-\sqrt{abc}\)
Cho a, b, b là ba số thực dương thỏa mãn : \(a+b+c+\sqrt{abc}=4\)
Tính giá trị của biểu thức:
\(A=\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}+\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4-a\right)}+\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}-\sqrt{abc}\)
Cho a, b, c là ba sô thực dương thỏa mãn điều kiện \(a+b+c+\sqrt{abc}=4\). Tính gt biểu thức:
\(A=\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}+\sqrt{b\left(4-a\right)\left(4-c\right)}+\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}-\sqrt{abc}\)
Giúp với!!
\(a+b+c+\sqrt{abc}=4\Rightarrow4a+4b+4c+4\sqrt{abc}=16\Rightarrow16-4b-4c=4a+4\sqrt{abc}\)
\(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}=\sqrt{a\left(16-4b-4c+bc\right)}=\sqrt{a\left(4a+4\sqrt{abc}+bc\right)}\)
\(=\sqrt{4a^2+4a\sqrt{abc}+abc}=\sqrt{\left(2a+\sqrt{abc}\right)^2}=2a+\sqrt{abc}\)
Tương tự : \(\sqrt{b\left(4-a\right)\left(4-c\right)}=2b+\sqrt{abc}\); \(\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}=2c+\sqrt{abc}\)
\(\Rightarrow A=2a+2b+2c+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}=2\left(a+b+c+\sqrt{abc}\right)=8\)
Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện :
a+b+c+\(\sqrt{abc}\)=4.Tính GTBT:
\(A=\sqrt{a\left(4-a\right)\left(4-c\right)}+\sqrt{b\left(4-c\right)\left(4-a\right)}+\sqrt{c\left(4-a\right)\left(4-b\right)}-\sqrt{abc}\)
Nguyễn Bùi Đại Hiệp phục bạn này lần nào hỏi cũng chép sai đề.
\(a+b+c+\sqrt{abc}=4\)
\(\Leftrightarrow4\left(a+b+c\right)+4\sqrt{abc}=16\)(*)
\(A=\Sigma\left(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}\right)-\sqrt{abc}\)
\(A=\Sigma\left(\sqrt{a\left(16-4b-4c+bc\right)}\right)-\sqrt{abc}\)
Thay (*) vào A ta được :
\(A=\Sigma\left(\sqrt{a\left(4a+4b+4c+4\sqrt{abc}-4b-4c+bc\right)}\right)-\sqrt{abc}\)
\(A=\Sigma\left(\sqrt{a\left(4a+4\sqrt{abc}+bc\right)}\right)-\sqrt{abc}\)
\(A=\Sigma\sqrt{a\left(2\sqrt{a}+\sqrt{bc}\right)^2}-\sqrt{abc}\)
\(A=\Sigma\left[\sqrt{a}\cdot\left(2\sqrt{a}+\sqrt{bc}\right)\right]-\sqrt{abc}\)
\(A=\Sigma\left(2a+\sqrt{abc}\right)-\sqrt{abc}\)
\(A=2\left(a+b+c\right)+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}\)
\(A=2\left(a+b+c\right)+2\sqrt{abc}\)
\(A=2\left(a+b+c+\sqrt{abc}\right)\)
\(A=2\cdot4=8\)
Vậy....
Cho các số thực dương : \(a;b;c\) thỏa mãn điều kiện : \(ab+bc+ac+abc=4\)
Chứng minh rằng : \(\dfrac{1}{\sqrt{2.\left(a^2+b^2\right)}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{2.\left(b^2+c^2\right)}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{2.\left(c^2+a^2\right)}+4}\le\dfrac{1}{2}\)
P/s: Em xin phép nhờ sự giúp đỡ của quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán.
Em cám ơn nhiều lắm ạ!
Dễ dàng c/m : \(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1\)
Ta có : \(\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\dfrac{1}{a+b+4}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}\right)\)
Suy ra : \(\Sigma\dfrac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le2.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)=\dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2}\)
" = " \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cho các số thực dương a;b;c thỏa mãn \(ab+bc+ca+abc=4\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}+\frac{1}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+4}+\frac{1}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}+4}\)
Xét biểu thức \(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)
\(=\frac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(abc+ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{4+\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\)(Do \(ab+bc+ca+abc=4\)theo giả thiết)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+12}=1\)(***)
Với x,y dương ta có 2 bất đẳng thức phụ sau:
\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)(*)
\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)(**)
Áp dụng (*) và (**), ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+4}\le\frac{1}{a+b+4}=\frac{1}{\left(a+2\right)+\left(b+2\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}\right)\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+4}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)\)(2)
\(\frac{1}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}+4}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c+2}+\frac{1}{a+2}\right)\)(3)
Cộng từng vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\right)=\frac{1}{2}\)(theo (***))
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Bạn bổ sung cho mình dòng cuối là a = b = c = 1 nhé!
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
\(B=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4+\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^4+\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)^4+\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^4+\left(\sqrt{b}+\sqrt{d}\right)^4+\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)^4\)
Với a, b, c, d là các số dương và \(a+b+c+d\le1\)
\(B=2\Sigma_{sym}\sqrt{ab}+3\left(a+b+c+d\right)\le6\left(a+b+c+d\right)\le6\)
Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c-\(\sqrt{abc}\)=4
Tính A=\(\sqrt{a\left(4-b\right)\left(4-c\right)}\)+\(\sqrt{b\left(4-a\right)\left(4-c\right)}\)+\(\sqrt{c\left(4-b\right)\left(4-c\right)}\)-\(\sqrt{abc}\)
Ta có:
\(a+b+c+\sqrt{abc}=4\)
\(\Leftrightarrow4a+4b+4c+4\sqrt{abc}=16\)
Ta lại có:
a(4 - b)(4 - c) = a(16 - 4b - 4c + bc) = a(4a + bc + \(4\sqrt{abc}\))
= (4a2 + \(4a\sqrt{abc}\)+ abc)
= (\(2a+\sqrt{abc}\))2
Tương tự ta có
b(4 - c)(4 - a) = (\(2b+\sqrt{abc}\))2
c(4 - a)(4 - b) = (\(2c+\sqrt{abc}\))2
Từ đây ta có
\(A= 2a+2b+2c+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}\)
\(=8\)
Nhầm
\(a+b+c-\sqrt{abc}=4\)
Thành
\(a+b+c+\sqrt{abc}=4\)
Mà thôi cũng làm tương tự thôi nên bạn tự làm lại nhé
Cho đa thức P(x)= \(\frac{x^5}{5}\)+\(\frac{x^3}{3}\)+\(\frac{7x}{15}\), CMR P(x) luôn nguyên khi x nguyên.