1: Xét tứ giác BFEC có 

\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

Do đó: BFEC là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác AEDB có

\(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^0\)

Do đó: AEDB là tứ giác nội tiếp

2: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC

Suy ra: AE/AF=AB/AC

hay \(AE\cdot AC=AB\cdot AF\)

Xét tứ giác CEHD ta có:

Góc CEH = 90⁰ (Vì BE là đường cao)

Góc CDH = 90⁰ (Vì AD là đường cao)

=> góc CEH + góc CDH = 180⁰

Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp.

a) Xét tứ giác CEHD có:

∠(CED) = 90 0  (do BE là đường cao)

∠(HDC) =  90 0  (do AD là đường cao)

⇒ ∠(CED) + ∠(HDC) = 180 0

Mà ∠(CED) và ∠(HDC) là 2 góc đối của tứ giác CEHD nên CEHD là tứ giác nội tiếp

d) Tam giác ADB vuông tại D có: ∠(A1) + ∠(ABC) = 90o (1)

Tam giác BCF vuông tại F có: ∠(C1) + ∠(ABC) = 90o (2)

Từ (1)và (2) ⇒ ∠(A1) = ∠(C1)

Mặt khác, ta có: ∠( A 1 ) = ∠( C 2 ) ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

⇒ ∠( C 1 ) = ∠( C 2 )

⇒ CD là tia phân giác của góc HCM

Xét tam giác HCM có: CD vừa là tia phân giác vừa là đường cao (CD⊥HD)

⇒ Δ HCM cân tại C

⇒ CD cũng là trung tuyến của của HM hay H và M đối xứng với nhau qua D.

c) Xét ΔAEH và ΔADC có:

∠(AEH) = ∠(ADC) =  90 0

∠(DAC) là góc chung

⇒ AE.AC = AD.AH

Xét Δ BEC và ΔADC có:

∠(BEC) = ∠(ADC) = 90 0

∠(ACD) là góc chung

⇒ ΔBEC ∼ ΔADC (g.g)

Sửa đề: M đối xứng H qua BC

Gọi AD là đường kính, I là giao của HD và BC

góc ABD=1/2*sđ cung AD=90 độ

=>BD//CH

góc ACD=1/2*sđ cung AD=90 độ

=>CD//BH

mà BD//CH

nên BHCD là hình bình hành

=>BC căt HD tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của HD và BC và BH//CD

góc AMD=1/2*sđ cung AD=90 độ

=>MD vuông góc AM

=>MD//BC

=>BCDM là hình thang cân

=>góc MBC=góc DCB=góc HBC

=>BC là phân giác của góc HBM

mà BC là trung tuyến của ΔHBM

nên ΔHMB cân tại B

=>BC là trug trực của MH

=>M đối xứng H qua BC

b) Xét tứ giác BFEC có:

∠(BFC) = 90 0  (Do CF là đường cao)

∠(BEC ) =  90 0  (Do BE là đường cao)

⇒ E và F cùng nhìn BC dưới một góc bằng nhau

⇒ Tứ giác BFEC nội tiếp được đường tròn

⇒ Bốn điểm B, E, F, C cùng nằm trên đường tròn