Lấy thêm trung điểm K của BC rồi dùng định lý Pytago tính các cạnh MB, MC, MA theo AB, AC, BC, AK

Đặt AB = AC = a \(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=a\sqrt{2}\)

Gọi I là trung điểm BC, do tam giác ABC cân nên AI cũng là đường cao.

\(AI=BI=IC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Đặt MI = x ( 0 < x < \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\) )

Ta có \(BM^2=\left(BI-MI\right)^2=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}-x\right)^2\)

\(MC^2=\left(IC+MI\right)^2=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}+x\right)^2\)

\(\Rightarrow MB^2+MC^2=2\left(\frac{a^2}{2}+x^2\right)=2\left(AI^2+MI^2\right)\)

\(=2AM^2\)

Vậy nên ta đã chứng minh được \(\forall M\in BC:BM^2+MC^2=2AM^2\)

Ngoài cách của cô Huyền ra, mình còn có thêm một cách như sau:

Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M lên AB và AC.

Xét tam giác MDB vuông tại B có \(\widehat{MBD}=45^o\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta MDB\) vuông cân tại D

\(\Rightarrow\)\(MB^2=2MD^2\)

Tương tự ta có \(MC^2=2ME^2\)

Cộng vế theo vế ta được:

\(MB^2+MC^2=2MD^2+2ME^2\)

\(\Rightarrow\)\(MB^2+MC^2=2MA^2\left(đpcm\right)\)

Gọi cạnh của tam giác là a, trung điểm BC là I.

+Ta có: \(BC=a\sqrt{2};\text{ }IB=IC=\frac{IA}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}\)

+Ta có: \(MB^2+MC^2=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}-IM\right)^2+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}+IM\right)^2=a^2+2IM^2\text{ (1)}\)

+AI vừa là trung tuyến vừa là phân giác góc A nên AI là trung trực tam giác ABC.

=> Tam giác AIM vuông tại I

\(\Rightarrow AM^2=AI^2+IM^2=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2+IM^2=\frac{a^2}{2}+IM^2\)

\(\Rightarrow2AM^2=a^2+2IM^2\text{ (2)}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MB^2+MC^2=2MA^2\)

Gọi cạnh của tam giác là a, trung điểm BC là I.

+Ta có: BC=a√2; IB=IC=IA2 =a√2 

+Ta có: MB2+MC2=(a√2 −IM)2+(a√2 +IM)2=a2+2IM2 (1)

+AI vừa là trung tuyến vừa là phân giác góc A nên AI là trung trực tam giác ABC.

=> Tam giác AIM vuông tại I

⇒AM2=AI2+IM2=(a√2 )2+IM2=a22 +IM2

⇒2AM2=a2+2IM2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra MB2+MC2=2MA2

Do tính đối xứng, ko mất tính tổng quát, giả sử M nằm giữa B và H

ABC vuông cân \(\Rightarrow AH\) đồng thời là trung tuyến

\(\Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow AH=BH=CH\)

Ta có:

\(\dfrac{MA^2}{MB^2+MC^2}=\dfrac{MA^2}{\left(BH-HM\right)^2+\left(CH+MH\right)^2}=\dfrac{MA^2}{\left(AH-MH\right)^2+\left(AH+MH\right)^2}\)

\(=\dfrac{MA^2}{2\left(AH^2+MH^2\right)}=\dfrac{MA^2}{2MA^2}=\dfrac{1}{2}\)