Cho tam giác ABC vuông cân tại A , M là 1 điểm thuộc cạnh BC . cHỨNG MINH \(MB^2\) + \(MC^2\) = \(2MA^2\)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Chứng minh với mọi điểm M thuộc cạnh huyền BC, ta có : MB2+MC2=2MA2
Lấy thêm trung điểm K của BC rồi dùng định lý Pytago tính các cạnh MB, MC, MA theo AB, AC, BC, AK
Đặt AB = AC = a \(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=a\sqrt{2}\)
Gọi I là trung điểm BC, do tam giác ABC cân nên AI cũng là đường cao.
\(AI=BI=IC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Đặt MI = x ( 0 < x < \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\) )
Ta có \(BM^2=\left(BI-MI\right)^2=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}-x\right)^2\)
\(MC^2=\left(IC+MI\right)^2=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}+x\right)^2\)
\(\Rightarrow MB^2+MC^2=2\left(\frac{a^2}{2}+x^2\right)=2\left(AI^2+MI^2\right)\)
\(=2AM^2\)
Vậy nên ta đã chứng minh được \(\forall M\in BC:BM^2+MC^2=2AM^2\)
Ngoài cách của cô Huyền ra, mình còn có thêm một cách như sau:
Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M lên AB và AC.
Xét tam giác MDB vuông tại B có \(\widehat{MBD}=45^o\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta MDB\) vuông cân tại D
\(\Rightarrow\)\(MB^2=2MD^2\)
Tương tự ta có \(MC^2=2ME^2\)
Cộng vế theo vế ta được:
\(MB^2+MC^2=2MD^2+2ME^2\)
\(\Rightarrow\)\(MB^2+MC^2=2MA^2\left(đpcm\right)\)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A . M thuộc BC . Chứng minh MB2+MC2=2MA2.
Gọi cạnh của tam giác là a, trung điểm BC là I.
+Ta có: \(BC=a\sqrt{2};\text{ }IB=IC=\frac{IA}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
+Ta có: \(MB^2+MC^2=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}-IM\right)^2+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}+IM\right)^2=a^2+2IM^2\text{ (1)}\)
+AI vừa là trung tuyến vừa là phân giác góc A nên AI là trung trực tam giác ABC.
=> Tam giác AIM vuông tại I
\(\Rightarrow AM^2=AI^2+IM^2=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2+IM^2=\frac{a^2}{2}+IM^2\)
\(\Rightarrow2AM^2=a^2+2IM^2\text{ (2)}\)
Từ (1) và (2) suy ra \(MB^2+MC^2=2MA^2\)
Gọi cạnh của tam giác là a, trung điểm BC là I.
+Ta có: BC=a√2; IB=IC=IA2 =a√2
+Ta có: MB2+MC2=(a√2 −IM)2+(a√2 +IM)2=a2+2IM2 (1)
+AI vừa là trung tuyến vừa là phân giác góc A nên AI là trung trực tam giác ABC.
=> Tam giác AIM vuông tại I
⇒AM2=AI2+IM2=(a√2 )2+IM2=a22 +IM2
⇒2AM2=a2+2IM2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra MB2+MC2=2MA2
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là điểm bất kì nằm trên đoạn BC.
Chứng minh: \(MB^2+MC^2=2MA^2\)
Cho tam giác ABC vuông cân ở A;M là điểm tùy ý nằm giữa B và C.Vẽ đường cao AH của tam giác ABC.
a) chứng minh AH=BC/2
b*)chứng minh MB^2+MC^2=2MA^2
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là 1 điểm trên cạnh BC.C/M: MB2+MC2 = 2MA2
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M là 1 điểm bất kì trên cạnh huyền BC. CMR MB2 +MC2 =2MA2
Giúp nhanh mk tick
Cho tam giác ABC vuông cân tại A ( AB = AC = a ), điểm M thay đổi trên cạnh BC
a) CMR : MB^2 + MC^2 = 2MA^2
b) Tìm vị trí của M trên BC để K = MB^ 2 + MC^2 đạt GTNN. Tính GTNN đó
cho tam giác abc vuông cân tại a. h là trung điểm cạnh bc. m là trung điểm cạnh bc. m là điểm nằm giữa b và h. vẽ md vuông góc ab tại d, me vuông góc với ac tại e. Cm:
a) ah vuông góc với bc
b) ad= ce, bd= ae
c) mb mũ 2 + mc mũ 2= 2ma mũ 2
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý. Chứng minh rằng tỉ số \(\dfrac{MA^2}{MB^2+MC^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Giá trị của tỉ số đó là bao nhiêu?
Do tính đối xứng, ko mất tính tổng quát, giả sử M nằm giữa B và H
ABC vuông cân \(\Rightarrow AH\) đồng thời là trung tuyến
\(\Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow AH=BH=CH\)
Ta có:
\(\dfrac{MA^2}{MB^2+MC^2}=\dfrac{MA^2}{\left(BH-HM\right)^2+\left(CH+MH\right)^2}=\dfrac{MA^2}{\left(AH-MH\right)^2+\left(AH+MH\right)^2}\)
\(=\dfrac{MA^2}{2\left(AH^2+MH^2\right)}=\dfrac{MA^2}{2MA^2}=\dfrac{1}{2}\)