Bài 1:

\(\left\{{}\begin{matrix}xy+2=2x+y\left(1\right)\\2xy+y^2+3y=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Rightarrow xy-y+2-2x=0\)

\(\Rightarrow y\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Với \(x=1\). Thay vào (2) ta được:

\(2y+y^2+3y=6\)

\(\Leftrightarrow y^2+5y-6=0\)

\(\Leftrightarrow y^2+y-6y-6=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(y+1\right)-6\left(y+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(y-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=6\end{matrix}\right.\)

Với \(y=2\). Thay vào (2) ta được:

\(2x.2+2^2+3.2=6\)

\(\Leftrightarrow4x+4+6=6\)

\(\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x,y) \(\in\left\{\left(1;-1\right),\left(1;6\right),\left(-1;2\right)\right\}\)

Bài 2:

\(f\left(x\right)=x^4+6x^3+11x^2+6x\)

\(=x\left(x^3+6x^2+11x+6\right)\)

\(=x\left(x^3+x^2+5x^2+5x+6x+6\right)\)

\(=x\left[x^2\left(x+1\right)+5x\left(x+1\right)+6\left(x+1\right)\right]\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+3x+2x+6\right)\)

\(=x\left(x+1\right)\left[x\left(x+3\right)+2\left(x+3\right)\right]\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

b) Ta có: \(f\left(x\right)+1=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1\)

\(=x\left(x+3\right).\left(x+1\right)\left(x+2\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x\right).\left(x^2+3x+2\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x\right)^2+2\left(x^2+3x\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x+1\right)^2\)

Vì x là số nguyên nên \(f\left(x\right)+1\) là số chính phương.

a/ \(x^3-5x^2+6x+3=\left(x-2\right)\left(x^2-3x\right)+3.\)( Dùng phép chia đa thức)

Để A chia hết cho x-2 thì 3 phải chia hết cho x-2 => x-2 là ước của 3

=> x-2={3-; -1; 1; 3} => x={-1; 1; 3; 5}

b/ Chia F(x) cho x-1

\(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^2-5x+6\right)\)

Giải phương trình bậc 2 \(x^2-5x+6=0\) để tìm nghiệm còn lại

a. x³+x²+2x²+2x

= (x³+x²)+(2x²+2x)

= x²(x+1)+2x(x+1)

= (x²+2x)(x+1)

= x(x+2)(x+1)

c: \(x^4+x^3-4x^2+x+1\)

\(=x^4-x^3+2x^3-2x^2-2x^2+2x-x+1\)

\(=\left(x-1\right)\left(x^3+2x^2-2x-1\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left[\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+2x\left(x-1\right)\right]\)

\(=\left(x-1\right)^2\cdot\left(x^2+3x+1\right)\)

a) ( x 2  – 4x + 1)( x 2  – 2x + 3).

b) ( x 2  + 5x – 1)( x 2  + x – 1).