Để kiểm tra một hàm F(x) có phải là một nguyên hàm của f(x) không thì ta chỉ cần kiểm tra F'(x) có bằng f(x) không?

a) \(F\left(x\right)\) là hằng số nên \(F'\left(x\right)=0\ne f\left(x\right)\)

b) \(G'\left(x\right)=2.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x\)

c) \(H'\left(x\right)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}\)

d) \(K'\left(x\right)=-2.\dfrac{-\left(\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{x}{2}}\right)}{\left(1+\tan\dfrac{x}{2}\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{x}{2}}}{\left(\dfrac{\cos\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{2}}{\cos\dfrac{x}{2}}\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{\left(\cos\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{1+2\cos\dfrac{x}{2}\sin\dfrac{x}{2}}\)

\(=\dfrac{1}{1+\sin x}\)

Vậy hàm số K(x) là một nguyên hàm của f(x).

 Trước hết ta chứng minh BĐT sau: \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) (*) với \(a,b,x,y>0\). Thật vậy, (*) tương đương \(\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\dfrac{a^2+2ab+b^2}{x+y}\)

 \(\Leftrightarrow a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy\ge2abxy+a^2xy+b^2xy\)

 \(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh. ĐTXR \(\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)

Áp dụng BĐT (*) liên tiếp, ta được:

 \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)

ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)

Ta có đpcm.

1.

\(y^2+y\left(x^3+x^2+x\right)+x^5-x^4+2x^3-2x^2\)

\(\Delta=\left(x^3+x^2+x\right)^2-4\left(x^5-x^4+2x^3-2x^2\right)\)

\(=\left(x^3-x^2+3x\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{-x^3-x^2-x+x^3-x^2+3x}{2}=-x^2+x\\y=\dfrac{-x^3-x^2-x-x^3+x^2-3x}{2}=-x^3-2x\end{matrix}\right.\)

Hay đa thức trên có thể phân tích thành:

\(\left(x^2-x+y\right)\left(x^3+2x+y\right)\)

Dựa vào đó em tự tách cho phù hợp

2.

\(VT=a\left(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+b\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+c\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\)

\(VT\ge\dfrac{2a}{bc}+\dfrac{2b}{ac}+\dfrac{2c}{ab}=2\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\)

\(VP=\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{abc}\)

\(\Rightarrow\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

3.

\(\dfrac{x^2-yz}{a}=\dfrac{y^2-xz}{b}=\dfrac{z^2-xy}{c}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{x^2-yz}{a}\right)^2=\left(\dfrac{y^2-xz}{b}\right)\left(\dfrac{z^2-xy}{c}\right)=\dfrac{\left(x^2-yz\right)^2-\left(y^2-xz\right)\left(z^2-xy\right)}{a^2-bc}\)

\(=\dfrac{x\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}{a^2-bc}\)

Tương tự:

\(\left(\dfrac{y^2-xz}{b}\right)^2=\dfrac{y\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}{b^2-ac}\)

\(\left(\dfrac{z^2-xy}{c}\right)^2=\dfrac{z\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}{c^2-ab}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}{a^2-bc}=\dfrac{y\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}{b^2-ac}=\dfrac{z\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}{c^2-ab}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{a^2-bc}=\dfrac{y}{b^2-ac}=\dfrac{z}{c^2-ab}\Rightarrowđpcm\)

\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2-1}{x^2}=1-\dfrac{1}{x^2}\)

\(\int f\left(x\right)dx=\int\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)dx=\int1dx-\int x^{-2}dx\)

=\(x-\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=x-\dfrac{x^{-1}}{-1}+C=x+\dfrac{1}{x}+C\)

C=-1 ta được phương án A(ko tm câu hỏi)

C=0 ta được phương án B(ko tm câu hỏi)

C=2 ta được phương án C(ko tm câu hỏi)

=>chọn D

\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\right)\)

\(=6\left(x^2+y^2+z^2\right)+12\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\right)-2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(=6\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{2z+x+y}\right)-2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\ge6\left(x+y+z\right)^2+2.\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2x+y+z+x+2y+z+2z+x+y}-2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(=6\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{18}{4\left(x+y+z\right)}-2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\ge6\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{18}{4\left(x+y+z\right)}-\dfrac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2\)

\(=6.\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{18}{4.\dfrac{3}{4}}-\dfrac{2}{3}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=9\)

\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{4}\)

a) ab+bc+ca\(\le\dfrac{\left(a+c+b\right)^2}{3}\)

\(\Leftrightarrow3ab+3bc+3ac\le a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ca\le2a^2+2b^2+2c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a,b,c\)

a) 3.(ab+bc+ac)≤a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac

<=> \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\ge0\)

<=> \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)

<=> (a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0 ( luon dung voi moi a,b,c)

b) ap dung ket qua tren va vế sau bn xem bài giải của mk ở trên