Lời giải:

Lấy PT(1) cộng với 2 lần PT (2) ta được:

$x+2y+2(2x-y)=3m+4+2(m+3)$

$\Leftrightarrow 5x=5m+10$

$\Leftrightarrow x=m+2$
Khi đó: $y=2x-(m+3)=2m+4-m-3=m+1$

Vậy HPT có nghiệm $(x,y)=(m+2, m+1)$

$x,y$ là độ dài tam giác cân có cạnh huyền, tức là tam giác vuông cân.

Trong tam giác vuông cân chỉ có 1 cạnh huyền và 2 cạnh còn lại bằng nhau và là cạnh góc vuông. Vì $m+2\neq m+1$ nên 1 trong 2 số này sẽ không phải độ dài cạnh góc vuông. 

Hiển nhiên $m+2> m+1$ nên $m+2$ là độ dài cạnh huyền.

$\Rightarrow m+2=\sqrt{5}$
$\Rightarrow m=\sqrt{5}-2$

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=m\\-5x+y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=m\\-15x+3y=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow17x=m+3\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{m+3}{17}\)

để x>0 \(\Leftrightarrow\dfrac{m+3}{17}>0\Leftrightarrow m+3>0\Leftrightarrow m>-3\)

còn y> gì bạn cũng làm như zậy nhé :))

\(2)mx^2-2\left(m-1\right)x+m-1=0\)

Để pt có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4m\left(m-1\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2-2m+1\right)-4m^2+4m=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-4m^2+4m=0\)

\(\Leftrightarrow-4m+4=0\)

\(\Leftrightarrow m=1\)

Vậy để pt trên có nghiệm kép thì \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m=1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=m\\5x-y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=m\\15x-3y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}17x=m+3\\5x-y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+3}{17}\\y=5x-1=\dfrac{5m+15}{17}-\dfrac{17}{17}=\dfrac{5m-2}{17}\end{matrix}\right.\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho x<0 và y>0 thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m+3}{17}< 0\\\dfrac{5m-2}{17}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+3< 0\\5m-2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -3\\m>\dfrac{2}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

Xem lại giúp tớ dấu căn ở câu c và d nhé.  

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y=m\\4x-2y=2m+2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{3m+2}{5}\\y=\frac{m-1}{5}\end{matrix}\right.\)

Để x; y là độ dài cạnh tam giác \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>0\\y>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>1\)

Áp dụng định lý Pitago ta có:

\(x^2+y^2=5\Leftrightarrow\left(\frac{3m+2}{5}\right)^2+\left(\frac{m-1}{5}\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow10m^2+10m-120=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-4< 1\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Bài 1.

\(\left\{{}\begin{matrix}x-3y=5-2m\\2x+y=3\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3y=5-2m\\6x+3y=9m+9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=7m+14\\x-3y=5-2m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\m+2-3y=5-2m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\-3y=-3m+3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\y=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_0^2+y_0^2=9m\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2+\left(m-1\right)^2=9m\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m+4+m^2-2m+1-9m=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-7m+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\m=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) ( Vi-ét )

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m-1}{2}\ne\dfrac{-m}{-1}=m\)

=>\(m-1\ne2m\)

=>\(m\ne-1\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\2x-y=m+5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\y=2x-m-5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-m-5\\\left(m-1\right)x-m\left(2x-m-5\right)=3m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-m-5\\\left(m-1\right)x-2xm+m^2+5m=3m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-m-5\\x\left(m-1-2m\right)=-m^2-5m+3m-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-m-5\\x\left(-m-1\right)=-m^2-2m-1=-\left(m+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2x-m-5\\x\cdot\left(-1\right)\cdot\left(m+1\right)=-\left(m+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1\\y=2\left(m+1\right)-m-5=2m+2-m-5=m-3\end{matrix}\right.\)

\(x^2-y^2=24\)

=>\(\left(m+1\right)^2-\left(m-3\right)^2=24\)

=>\(m^2+2m+1-m^2+6m-9=24\)

=>8m-8=24

=>m=4(nhận)