9.1
cho `x^2 -2(m+1)x-m^2 -3=0`
tìm m để pt có 2 nghiệm pb thỏa mãn \(\left(x_1+x_2-6\right)^2\left(x_2-2x_1\right)=\left(x_1x_2+7\right)^2\left(x_1-2x_2\right)\)
Tìm m để phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+m=0\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn:
a \(x_1+x_2=x_1x_2\)
b \(3\left(x_1+x_2\right)-2x_1.x_2=1\)
\(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-\left(m^2+m\right)=m^2+2m+1-m^2-m\)
\(=m+1\)
pt có nghiệm x1,x2 \(< =>m+1\ge0< =>m\ge-1\)
vi ét \(=>\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m+2\\x1x2=m^2+m\end{matrix}\right.\)
a,\(=>2m+2=m^2+m< =>m^2-m-2=0\)
\(a-b+c=0=>\left[{}\begin{matrix}m1=-1\\m2=2\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)
b,\(< =>3\left(2m+2\right)-2\left(m^2+m\right)-1=0\)
\(< =>-2m^2+4m+5=0\)
\(ac< 0\) pt có 2 nghiệm pbiet \(=>\left[{}\begin{matrix}m1=...\\m2=...\end{matrix}\right.\) thay số vào tính m1,m2 đối chiếu đk
9.2
cho `x^2 -4x+m-5=0`
tìm m để pt có 2 nghiệm pb `x_1 ;x_2` thỏa mãn \(\left(x_1-1\right)\left(x_2^2-3x_2+m-6\right)=-3\)
Cho phương trình \(x^2-mx+2=0\) tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt để biểu thức \(\left(x_1+x_2\right)^4-17\left(x_1+x_2\right)^2x_1^2x_2^2-6\left(x_1+x_2\right)x_1^3x_2^3\)đạt giá trị nhỏ nhất
`x^2 -(m+1)x+m=0`
tìm m để pt có 2 nghiệm `x_1 , x_2` thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)-x_1-x_2+5\)
\(\text{Δ}=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot m\)
\(=\left(m+1\right)^2-4m\)
\(=\left(m-1\right)^2>=0\forall m\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)-x_1-x_2+5\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+6\)
=>\(\left(m+1\right)^2-2m=m-2\left(m+1\right)+6\)
=>\(m^2+1=m-2m-2+6\)
=>\(m^2+1=-m+4\)
=>\(m^2+m-3=0\)
=>\(m=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}\)
Cho PT \(2x^2-4mx+2m^2-1=0\). Tìm $m$ để PT có 2 nghiệm $x_1,x_2$ phân biệt thỏa:
\(\left(2x_1^{2016}-4mx_1^{2015}+\left(2m^2-1\right)x_1^{2014}+1\right)\left(2x_2^2+4mx_1+2m^2-9\right)< 0\)
\(\Delta'=4m^2-2\left(2m^2-1\right)=2>0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=\dfrac{2m^2-1}{2}\end{matrix}\right.\)
Do \(x_1\) là nghiệm nên:
\(2x_1^2-4mx_1+2m^2-1=0\Rightarrow x_1^{2014}\left(2x_1^2-4mx_1+2m^2-1\right)=0\)
Do \(x_2\) là nghiệm nên:
\(2x_2^2-4mx_2+2m^2-1=0\Rightarrow2x_2^2+2m^2-1=4mx_2\)
Bài toán trở thành:
\(\left(0+1\right)\left(4mx_2+4mx_1-8\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow m\left(x_1+x_2\right)-2< 0\)
\(\Leftrightarrow2m^2-2< 0\)
\(\Leftrightarrow-1< m< 1\)
bài 1: cho phương trình \(x^2-2\left(m+2\right)x+m-3=0\)
Tìm m sao cho
a)phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn \(\left(2x_1+1\right)\left(2x_2+1\right)=8\)
b)phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn\(P=x_1^2+x_2^2-3x_1x_2\) nhỏ nhất
a)
Ta có: \(\Delta=\left[-2\left(m+2\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m-3\right)\)
\(=\left(-2m-4\right)^2-4\left(m-3\right)\)
\(=4m^2+16m+16\ge0\forall x\)
Suy ra: Phương trình \(x^2-2\left(m+2\right)x+m-3=0\) luôn có nghiệm với mọi m
Áp dụng hệ thức Viet, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+2\right)=2m+4\\x_1\cdot x_2=m-3\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left(2x_1+1\right)\left(2x_2+1\right)=8\)
\(\Leftrightarrow4\cdot x_1x_2+2\cdot\left(x_1+x_2\right)+1=8\)
\(\Leftrightarrow4\left(m-3\right)+2\left(2m+4\right)+1=8\)
\(\Leftrightarrow4m-12+4m+8+1=8\)
\(\Leftrightarrow8m=8+12-8-1\)
\(\Leftrightarrow8m=11\)
hay \(m=\dfrac{11}{8}\)
Tiếp tục với bài của bạn Nguyễn Lê Phước Thịnh
b)
Ta có: \(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2\)
\(\Rightarrow P=4m^2+11m+31=4m^2+2\cdot m\cdot\dfrac{11}{2}+\dfrac{121}{4}+\dfrac{3}{4}\) \(=\left(2m+\dfrac{11}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow2m+\dfrac{11}{2}=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{11}{4}\)
Vậy \(P_{Min}=\dfrac{3}{4}\) khi \(m=-\dfrac{11}{4}\)
Cho pt : \(x^2-2\left(m-1\right)x-2m+1=0\) .
Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) phân biệt thỏa mãn \(2x_1-x_2=2\)
x1+x2=2m-2
2x1-x2=2
=>3x1=2m và 2x1-x2=2
=>x1=2m/3 và x2=4m/3-2
x1*x2=-2m+1
=>8/9m^2-4/3m+2m-1=0
=>8/9m^2+2/3m-1=0
=>8m^2+6m-9=0
=>m=3/4 hoặc m=-3/2
\(x^2-2\left(m-1\right)x-2m+1=0\left(1\right)\)
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì:
\(\Delta>0\Rightarrow\left[2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(-2m+1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow4\left(m-1\right)^2+8m-4>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4+8m-4>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2>0\Leftrightarrow m\ne0\)
Vậy với \(\forall m\ne0\) thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viete cho phương trình (1) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-2m+1\end{matrix}\right.\)
Ta có \(2x_1-x_2=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x_1+x_2\right)-2=3x_2\left(1'\right)\\\left(x_1+x_2\right)+2=3x_1\left(2'\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (1') nhân cho (2') ta được:
\(\left[2\left(x_1+x_2\right)-2\right]\left[\left(x_1+x_2\right)+2\right]=9x_1x_2\)
\(\Rightarrow\left[2.2\left(m-1\right)-2\right]\left[2\left(m-1\right)+2\right]=9\left(-2m+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(4m-6\right).2m=-18m+9\)
\(\Leftrightarrow8m^2+6m-9=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{4}\\m=\dfrac{-3}{2}\end{matrix}\right.\)
Thử lại ta có m=3/4 hay m=-3/2
Cho pt : \(x^2-2\left(m-1\right)x+4m-11=0\)
Tìm giá trị của m để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\)thỏa mãn : \(2\left(x_1-1\right)^2+\left(6-x_2\right)\left(x_1x_2+11\right)=72\)
dùng phương pháp Vi-ét ko hoàn toàn
(mình đăng lên youtube rồi đấy)
Cho pt: \(x^2-x+m\)=0 (1)
Tìm m để pt(1) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn:
\(\left(x^2_1+x_2+m\right)\left(x_2^2+x_1+m\right)\)= \(m^2-m-1\)
\(\Delta=1-4m>0\Rightarrow m< \dfrac{1}{4}\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
\(\left(x_1^2+x_2+m\right)\left(x_2^2+x_1+m\right)=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow\left[x_1\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2+x_2+m\right]\left[x_2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2+x_1+m\right]=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-1=1\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=2>\dfrac{1}{4}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)