O' là điểm nào em nhỉ?

a/ Gọi M là trung điểm BC, nối SM cắt B'C' tại M'

Trong mặt phẳng (SAM), nối SG cắt A'M' tại Q

Q là giao điểm SG và (P)

b/ Ủa sao điểm D chẳng liên quan gì vậy ta, 2 câu rồi em nó vẫn bị ngó lơ.

Trong mặt phẳng (SCD), qua B và C lần lượt kẻ các đường thẳng song song SM, cắt B'C' kéo dài tại \(B_1\) và \(C_1\)

Áp dụng talet: \(\frac{BB_1}{SM'}=\frac{BB'}{SB'}\Rightarrow1+\frac{BB_1}{SM'}=\frac{BB'}{SB'}+1=\frac{SB}{SB'}\)

Tương tự ta có: \(1+\frac{CC_1}{SM'}=\frac{SC}{SC'}\)

Cộng vế với vế: \(2+\frac{BB_1+CC_1}{SM'}=\frac{SB}{SB'}+\frac{SC}{SC'}\)

Mà \(BB_1+CC_1=2MM'\) (t/c đường trung bình hình thang)

\(\Rightarrow2+\frac{2MM'}{SM'}=\frac{SB}{SB'}+\frac{SC}{SC'}\Rightarrow\frac{SB}{SB'}+\frac{SC}{SC'}=\frac{2\left(SM'+MM'\right)}{SM'}=\frac{2SM}{SM'}\)

Gọi N là trung điểm AM, trong mp (SAM), SN cắt A'M' tại N'

Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{SA}{SA'}+\frac{SM}{SM'}=\frac{2SN}{SN'}\)

\(\Rightarrow\frac{2SA}{SA'}+\frac{SB}{SB'}+\frac{SC}{SC'}=\frac{2SA}{SA'}+\frac{2SM}{SM'}=\frac{4SN}{SN'}\)

\(\Rightarrow\frac{4SN}{SN'}=8\Rightarrow SN'=\frac{1}{2}SN\)

\(\Rightarrow N'\) là trung điểm SN

Mà A; M; S cố định \(\Rightarrow N'\) cố định

\(\Rightarrow\left(P\right)\) luôn đi qua điểm N' cố định

Bài này ứng dụng bài toán đồng phẳng đã chứng minh cho em hồi sáng:

4 điểm M, A', B', C', D' đồng phẳng nên với điểm S bất kì ta có:

\(\overrightarrow{SM}=m.\overrightarrow{SA'}+n.\overrightarrow{SB'}+p.\overrightarrow{SC'}\)

Khi đó \(m+n+p=1\)

Giải như sau:

Đặt \(\dfrac{SA}{SA'}=x;\dfrac{SB}{SB'}=y;\dfrac{SC}{SC'}=z\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{SA}=x.\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB}=y.\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC}=z.\overrightarrow{SC'}\)

Do G là trọng tâm ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SG}\)

\(\Rightarrow x.\overrightarrow{SA'}+y.\overrightarrow{SB'}+z.\overrightarrow{SC'}=3\overrightarrow{SG}=6\overrightarrow{SM}\) (do M là trung điểm SG)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{6}.\overrightarrow{SA'}+\dfrac{y}{6}.\overrightarrow{SB'}+\dfrac{z}{6}.\overrightarrow{SC'}=\overrightarrow{SM}\)

Do M;A'B'C' đồng phẳng 

\(\Rightarrow\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{6}=1\) \(\Rightarrow x+y+z=6\)

\(\Rightarrow\dfrac{SA}{SA'}+\dfrac{SB}{SB'}+\dfrac{SC}{SC'}=6\)

Với bài toán trắc nghiệm (hoặc cần kiểm chứng kết quả) chỉ cần chọn trường hợp đặc biệt là (P) song song đáy, khi đó theo Talet thì A', B', C' lần lượt là trung điểm các cạnh nên ta dễ dàng tính ra tổng cần tính là 2+2+2=6

Bài này ứng dụng 1 phần cách giải của bài này:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giả sử mp (a) cắt SA; SB;SC; SD thứ tự tại A' B' C' D'. Tính \(\dfra... - Hoc24

Gọi O' là giao điểm của SO và MP, tương tự như bài trên, ta có 3 đường thẳng SO, MP, NQ đồng quy tại O'

Đồng thời sử dụng diện tích tam giác, ta cũng chứng minh được:

\(3=\dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SC}{SP}=\dfrac{2SO}{SO'}=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}\)

Áp dụng BĐT Cô-si: \(3=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}\ge2\sqrt{\dfrac{SB.SD}{SN.SQ}}\Rightarrow SN.SQ\ge\dfrac{4}{9}.SB.SD\)

Theo bổ đề về diện tích tam giác chứng minh ở đầu:

\(\dfrac{S_{SNQ}}{S_{SBD}}=\dfrac{SN.SQ}{SB.SD}\ge\dfrac{\dfrac{4}{9}SB.SD}{SB.SD}=\dfrac{4}{9}\)

\(\Rightarrow S_{SBD}\ge\dfrac{4}{9}.S_{SBD}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{9}\)

a/ Một kinh nghiệm khi đề bài cho dữ kiện về trọng tâm thì vẽ hết 3 đường trung tuyến ra, sẽ rất dễ nhìn

Ta có SG là đường trung tuyến của tam giác SCD, kéo dài SG cắt CD ở K=> \(MG\subset\left(SAK\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}A\in SA\subset\left(SAK\right)\\A\in AB\subset\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow A=\left(SAK\right)\cap\left(ABCD\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}K\in SK\subset\left(SAK\right)\\K\in CD\subset\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow K=\left(SAK\right)\cap\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\left(SAK\right)\cap\left(ABCD\right)=AK\)

\(AK\cap MG=\left\{I\right\}\Rightarrow MG\cap\left(ABCD\right)=\left\{I\right\}\)

b/ \(BN\subset\left(SBD\right)\)

\(\left(SAG\right)\equiv\left(SAK\right)\)

\(AK\cap BD=\left\{H\right\}\Rightarrow H=\left(SBD\right)\cap\left(SAK\right)\)

\(\Rightarrow\left(SAG\right)\cap\left(SAK\right)=SH\)

\(SH\cap BN=\left\{O\right\}\Rightarrow BN\cap\left(SAG\right)=\left\{O\right\}\)

a/ Một kinh nghiệm khi đề bài cho dữ kiện về trọng tâm thì vẽ hết 3 đường trung tuyến ra, sẽ rất dễ nhìn

Ta có SG là đường trung tuyến của tam giác SCD, kéo dài SG cắt CD ở K=> \(MG\subset\left(SAK\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}A\in SA\subset\left(SAK\right)\\A\in AB\subset\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow A=\left(SAK\right)\cap\left(ABCD\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}K\in SK\subset\left(SAK\right)\\K\in CD\subset\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow K=\left(SAK\right)\cap\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\left(SAK\right)\cap\left(ABCD\right)=AK\)

\(AK\cap MG=\left\{I\right\}\Rightarrow MG\cap\left(ABCD\right)=\left\{I\right\}\)

b/ \(BN\subset\left(SBD\right)\)

\(\left(SAG\right)\equiv\left(SAK\right)\)

\(AK\cap BD=\left\{H\right\}\Rightarrow H=\left(SBD\right)\cap\left(SAK\right)\)

\(\Rightarrow\left(SAG\right)\cap\left(SAK\right)=SH\)

\(SH\cap BN=\left\{O\right\}\Rightarrow BN\cap\left(SAG\right)=\left\{O\right\}\)

a) Xét tam giác HAC ta có: GH = 2GA, HK = 2KC suy ra GK // AC hay GK // (ABCD).

b) (MNEF) // (ABCD) do đó MN // AB, NE // BC, EF // CD, MF // AD

Lại có AB // CD, AD // BC suy ra MN // EF, MF // NE.

Suy ra, tứ giác MNEF là hình bình hành.

Chọn D.

Theo một kết quả cơ bản của hình học vectơ ta có

Gọi E là giao điểm của CG với AB, F là giao điểm của AG với BC

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

AG cắt BC tại F

Do đó: F là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

CG cắt AB tại E

Do đó: E là trung điểm của AB

Chọn mp(SEC) có chứa SG

Trong mp(SAB), gọi K là giao điểm của BM với SE

\(K\in SE\subset\left(SEC\right);K\in BM\subset\left(BMN\right)\)

=>\(K\in\left(SEC\right)\cap\left(BMN\right)\)

\(N\in SC\subset\left(SEC\right);N\in\left(BMN\right)\)

=>\(N\in\left(SEC\right)\cap\left(BMN\right)\)

=>\(\left(SEC\right)\cap\left(BMN\right)=KN\)

Gọi I là giao điểm của SG với KN

=>I là giao điểm của SG với mp(BMN)