a: \(=x-\sqrt{xy}+y-x+2\sqrt{xy}-y=\sqrt{xy}\)

b: \(=\dfrac{1+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}+1}=\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}\)

BĐT cần chứng minh tương đương

\(VT\ge4\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}\ge4\left(x+y+z\right)\)

Theo BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có:

\(\sum\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}\ge\dfrac{\left(y+z\right)\left(x+\sqrt{yz}\right)}{x}=y+z+\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}\ge y+z+\dfrac{2yz}{x}\)

Suy ra: \(\sum\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}\ge2\left(x+y+z\right)-2\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\right)\)

Mặt khác, theo AM-GM:
\(\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow\sum\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}\ge4\left(x+y+z\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)

@Phương An

áp dụng cauchy ngược dấu là xong nhé bạn :>> mình ko đánh đc sorry bạn

a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\)

\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\cdot2\sqrt{xy}}=VP\)

Xảy ra khi \(x=y\)

b)\(BDT\Leftrightarrow x+y+z+t\ge4\sqrt[4]{xyzt}\)

Đúng với AM-GM 4 số

Xảy ra khi \(x=y=z=t\)

Bạn có thể tham khảo lời giải tại đây:

Câu hỏi của Toán Chuyên Học - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

\(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+1\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+x+y+z+2\sqrt{xyz}\right)}\)

\(=\sqrt{x\left(yz+x+2\sqrt{xyz}\right)}=\sqrt{x^2+2x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(x+\sqrt{xyz}\right)^2}\)

\(=x+\sqrt{xyz}\)

Tương tự: \(\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}=y+\sqrt{xyz}\) ; \(\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=z+\sqrt{xyz}\)

\(\Rightarrow VT=x+y+z+3\sqrt{xyz}=1-2\sqrt{xyz}+3\sqrt{xyz}=1+\sqrt{xyz}\) (đpcm)