Có điểm C' ?

Hình như là điểm C đó cậu.Chắc mình gõ nhầm

Chắc là "Sao cho G' là trung điểm AC" ??

Ta có : \(\frac{OM}{AM}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{ON}{BN}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{OP}{CP}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki, ta có : 

\(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}=\left(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\right).\left(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}\right)\ge\)

\(\ge\left(\sqrt{\frac{AM}{OM}.\frac{OM}{AM}}+\sqrt{\frac{BN}{ON}.\frac{ON}{BN}}+\sqrt{\frac{CP}{OP}.\frac{OP}{CP}}\right)^2=\left(1+1+1\right)^2=9\)

Vậy \(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\ge9\) (đpcm)

Neu đề bài trên kia là cho >_ 6 thì chứng minh thế nào

a) Ta có ^APB = ^BAC/2 + ^ABC/2 + ^ACB = 90⁰ + ^ACB/2 = ^AMP; ^BAP = MAP

Suy ra \(\Delta\)AMP ~ \(\Delta\)APB (g.g) => \(\frac{AM}{PM}=\frac{AP}{BP}\). Tương tự \(\frac{PN}{BN}=\frac{AP}{BP}\)

Từ đó \(\frac{AM}{BN}.\frac{PN}{PM}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\). Dễ thấy PM = PN, vậy \(\frac{AM}{BN}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\)

b) Theo hệ thức lượng và tam giác đồng dạng, ta có biến đổi sau:

\(\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)

\(=\frac{AM}{AP}.\frac{AP}{AC}+\frac{BN}{BP}.\frac{BP}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)

\(=\frac{AP^2}{AB.AC}+\frac{BP^2}{BA.BC}+\frac{CP^2}{CA.CB}\)

\(=\frac{AP^2.BC+BP^2.CA+CP^2.AB}{BC.CA.AB}\)

\(=\frac{AP^2.\sin A+BP^2.\sin B+CA^2.\sin C}{2S}\)(S là diện tích tam giác ABC)

\(=\frac{AP^2.\sin\frac{A}{2}.\cos\frac{A}{2}+BP^2.\sin\frac{B}{2}.\cos\frac{B}{2}+CP^2.\sin\frac{C}{2}.\cos\frac{C}{2}}{S}\)

\(=\frac{FA.FP+DB.DP+EC.EP}{S}=\frac{dt\left[AFPE\right]+dt\left[BDPF\right]+dt\left[CEPD\right]}{S}=1.\)

Tham khảo:

a) Ta có: M là trọng tâm của tam giác BCD

Nên M nằm trên trung tuyến BI (1)

Ta có: N là trọng tâm của tam giác ACD

Nên N nằm trên trung tuyến AI (2)

Từ (1) và (2) suy ra M và N thuộc mp (ABI)

b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG

Ta có: HK // AB

          AB // MN

Suy ra MN // HK

Theo định lý Ta-let, ta có: \(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{{GN}}{{GK}} = \frac{{MN}}{{HK}}(1)\)

Ta có:\(\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{1}{2},\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\)

Do đó \(\frac{{MN}}{{AB}}:\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{HK}} = \frac{2}{3}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra\(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{2}{3}GH = \frac{1}{2}GA \Rightarrow \frac{{GM}}{{\frac{1}{2}GA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{3}\)

Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\)

c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, BD

Tam giác AHD có:\(\frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)

Suy ra: QM // AD

Do đó, tam giác QGM đồng dạng với tam giác DGA

Nên D, G, Q thẳng hàng

Ta có: QM // AD nên \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)

Mà \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{QG}}{{GD}}\)

Do đó:\(\frac{{QG}}{{GD}} = \frac{1}{3}\)

Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{1}{3}\)

Suy ra điều cần chứng minh.