Ta có : x² - 2xy + y² + 1 = (x - y)² + 1

Vì : \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x\in R\)

Nên : \(\left(x-y\right)^2+1\ge1\forall x\in R\)

Suy ra : \(\left(x-y\right)^2+1>0\forall x\in R\)

Vậy x² - 2xy + y² + 1 \(>0\forall x\in R\)

Ta có : x - x² - 1

= -(x² - x + 1)

\(=-\left(x^2-x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\right)\)

\(=-\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{4}\)

\(=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}\)

Vì : \(-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le0\forall x\in R\)

Nên : \(-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}\le-\frac{3}{4}< 0\)

Vậy x - x² - 1 \(< 0\forall x\in R\)

hỏi tí cái chữ A ngược đó là gì vậy bạn

chữ a ngược là với mọi x

a) x² - 2xy + y² + 1

= ( x - y)² + 1

Do : ( x - y)² lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi số tực x và y

--> ( x -y)² + 1 lớn hơn hoặc bằng 1 > 0 với mọi số thực x và y

Khi và chỉ khi : x - y =0 --> x =y

b) x - x² - 1

= - ( x² - x + 1)

= - [ x² - 2.\(\dfrac{1}{2}\)x + (\(\dfrac{1}{2}\))² - \(\dfrac{1}{4}+1\)]

= - ( x - \(\dfrac{1}{2}\))² + \(\dfrac{1}{4}-1\)

= - ( x - \(\dfrac{1}{2}\))² - \(\dfrac{3}{4}\)

Do : - ( x - \(\dfrac{1}{2}\))² nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi số thực x

--> - ( x - \(\dfrac{1}{2}\))² - \(\dfrac{3}{4}\) nhỏ hơn hoặc bằng - \(\dfrac{3}{4}\)với mọi số thực x

Khi và chỉ khi : x - \(\dfrac{1}{2}\)=0 --> x = \(\dfrac{1}{2}\)

\(=\left(x-y\right)^2+1\ge1>0,\forall x,y\)

\(x^2-2xy+y^2+1\)

\(=\left(x-y\right)^2+1\)

Vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\) với mọi \(x,y\in R\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+1\ge1\) với mọi \(x,y\in R\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+1>0\) với mọi \(x,y\in R\) (đpcm)

\(x^2-2xy+y^2+1\)

\(=\left(x^2-2xy+y^2\right)+1\)

\(=\left(x-y\right)^2+1\)

vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-y\right)^2+1>0\forall x,y\)

vậy ................

\(x^2-2xy-x+1+2y^2=x^2-x\left(2y+1\right)+\frac{\left(2y+1\right)^2}{4}-\frac{\left(2y+1\right)^2}{4}+2y^2+1\)

\(=\left(x-\frac{2y+1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\left(2y-1\right)^2+\frac{1}{2}>0\)

bn có thể lm rõ hơn dc chứ

a. Ta có : \(4x^2-6x+9=4x^2-6x+\dfrac{9}{4}+\dfrac{27}{4}\)

\(=\left[\left(2x\right)^2-6x+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\right]+\dfrac{27}{4}\)

\(=\left(2x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4}\)

Vì \(\left(2x-\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

nên \(\left(2x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4}\ge\dfrac{27}{4}>0\forall x\)

b.Ta có : \(x^2+2y^2-2xy+y+1=\left(x^2+y^2-2xy\right)+\left(y^2+y+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(x-y\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

Vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\)

\(\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall y\)

nên \(\left(x-y\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}>0\forall x;y\)

Bài 1:

\(a,A=2x^2+2x+1=\left(x^2+2x+1\right)+x^2=\left(x+1\right)^2+x^2\\ Mà:\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\in R\\ \Rightarrow\left(x+1\right)^2+x^2>0\forall x\in R\\ Vậy:A>0\forall x\in R\)

2:

a: =-(x^2-3x+1)

=-(x^2-3x+9/4-5/4)

=-(x-3/2)^2+5/4 chưa chắc <0 đâu bạn

b: =-2(x^2+3/2x+3/2)

=-2(x^2+2*x*3/4+9/16+15/16)

=-2(x+3/4)^2-15/8<0 với mọi x

Bài 1:

\(B=4+x^2+x=\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{15}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}\ge\dfrac{15}{4}\forall x\in R\\ Vậy:B>0\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow-1-\left(x-y\right)^2\le-1< 0\)

a) x² -  2xy + y²  + 1 = (x-y)² + 1 \(\ge\)1  

=> (x-y)² +1 >0  =>  x² - 2xy + y²  >0 

b) x - x² - 1 = -(x² - x + \(\frac{1}{4}\)) - \(\frac{3}{4}\)= - (x-\(\frac{1}{2}\))² - \(\frac{3}{4}\)< 0   => x -  x²  - 1 <0

a) Ta có:

\(x^2-2xy+y^2+1\)

\(=\left(x^2-2xy+y^2\right)+1\)

.\(=\left(x-y\right)^2+1\)

\(\left(x-y\right)^2\ge0\)với mọi \(x,y\in R\)

\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2+1\)

\(=\left(x-y\right)^2+1\ge0+1=1>0 \forall x,y\in R\left(đpcm\right)\)

b) Ta có :

\(x-x^2-1\)

\(=-\left(x^2-x+1\right)\)

\(=-\left(x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{2^2}\right)\)

\(=-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\)

Ta có :

\(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)với mọi số thực x

\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge0+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}>0\)với mọi số thực x

\(\Rightarrow x-x^2-1=-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}\right]< 0\)với mọi số thực ( đpcm )