Tham khảo bài này nha:

Cho x;y;z không âm,thoảvx+y+z=3.Chứng minh rằng :2(x2+y2+z2)+xyz≥72(x2+y2+z2)+xyz≥7

Ta có:

(3−2x)(3−2y)(3−2z)≤(9−2x−2y−2z)327=1(3−2x)(3−2y)(3−2z)≤(9−2x−2y−2z)327=1

⇔8xyz≥−28+12(xy+yz+zx)⇔8xyz≥−28+12(xy+yz+zx)

⇔xyz≥−144+32(xy+yz+zx)⇔xyz≥−144+32(xy+yz+zx)

Ta có:

2(x2+y2+z2)+xyz≥54(x2+y2+z2)+34(x+y+z)2−144≥512(x+y+z)2+34(x+y+z)2−144

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{2x^2-xy}=x-2y+1\left(1\right)\\x^2-3xy+2y^2=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Điều kiện bạn tự làm nhé.

Xét PT (2) ta có

\(x^2-3xy+2y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy\right)+\left(-2xy+2y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-2y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x=2y\end{cases}}\)

Thế x = y vào PT (1) ta được

\(\sqrt{2x^2-x^2}=x-2x+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2}=1-x\left(0\le x\le1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Tương tự cho trường hợp còn lại. Nhớ đối chiếu điều kiện để chọn nghiệm.

PT (2) thiếu \(x^2-3xy+2x^2=0\)

Lời giải

a) Thay \(a=2+\sqrt{3}\) và \(b=2-\sqrt{3}\) vào P, ta được:

\(P=a+b-ab\\ P=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}-\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)\\ P=2+2-\left(2^2-\sqrt{3}^2\right)\\ P=4-\left(4-3\right)\\ P=4-4+3=3\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}3x+y=5\\x-2y=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x+2y=10\\x-2y=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=7\\x-2y=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm hệ phương trình (1; 2)

\(PT\left(2\right)\Leftrightarrow y=\dfrac{4-3x}{2}\\ PT\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{2x+\dfrac{4-3x}{2}+1}-\sqrt{x+\dfrac{4-3x}{2}}=1\\ \Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{x+6}{2}}-\sqrt{\dfrac{4-x}{2}}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x+6}-\sqrt{4-x}}{\sqrt{2}}=1\\ \Leftrightarrow\sqrt{x+6}=\sqrt{4-x}+\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow x+6=6-x+2\sqrt{2\left(4-x\right)}\left(x\ge-6\right)\\ \Leftrightarrow x=\sqrt{8-2x}\\ \Leftrightarrow x^2=8-2x\left(x\ge0\right)\\ \Leftrightarrow x^2+2x-8=0\\ \Leftrightarrow x=2\left(x\ge0\right)\\ \Leftrightarrow y=\dfrac{4-3.2}{2}=-1\)

Vậy ...