Cho △ABC cân tại A. Vẽ đtron tâm D đkinh BC cắt AC và AB lần lượt tại E, F. Gọi H là giao điểm của BE và CF. CMR
a, A, E, H, F cùng thuộc 1 đtron
b, DE là tiếp tuyến của đtron nói trên
a: Xét (O) có
ΔBFC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBFC vuông tại F
=>CF\(\perp\)FB tại F
=>CF\(\perp\)AB tại F
Xét (O) có
ΔBEC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBEC vuông tại E
=>BE\(\perp\)EC tại E
=>BE\(\perp\)AC tại E
Xét ΔABC có
BE,CF là đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC(1)
ΔABC cân tại A
mà AD là đường trung tuyến
nên AD\(\perp\)BC(2)
Từ (1),(2) suy ra A,H,D thẳng hàng
hay AD\(\perp\)BC tại D
Gọi I là trung điểm của AH
=>I là tâm của đường tròn đường kính AH
Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>A,E,H,F cùng thuộc đường tròn tâm I, đường kính AH
b: IE=IH
=>ΔIEH cân tại I
=>\(\widehat{IHE}=\widehat{IEH}\)
mà \(\widehat{IHE}=\widehat{BHD}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{BHD}=\widehat{BCE}\left(=90^0-\widehat{EBC}\right)\)
nên \(\widehat{IEH}=\widehat{BCE}\)
ΔEBC vuông tại E
mà ED là đường trung tuyến
nên DB=DE
=>ΔDBE cân tại D
=>\(\widehat{DBE}=\widehat{DEB}\)
\(\widehat{IED}=\widehat{IEB}+\widehat{DEB}\)
\(=\widehat{IEH}+\widehat{DEB}\)
\(=\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=90^0\)
=>DE là tiếp tuyến của (I)
a, xét tam giác BFC có
BC là đường kính của(O)
=>tam giác BFC vuông tại F=>góc BFC=90(độ)
xét tam giác CEB có
BC là đường kính của (O)
=>tam giác CEB vuống tại E=>CEB=90(độ)
=> tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC có tâm (D)
=> 4 điểm B,C,E,F cùng thuộc 1 đường tròn
a, xét tam giác BFC có
BC là đường kính của(O)
=>tam giác BFC vuông tại F=>góc BFC=90(độ)
xét tam giác CEB có
BC là đường kính của (O)
=>tam giác CEB vuống tại E=>CEB=90(độ)
=> tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC có tâm (D)
=> vậy đáp án là 4 điểm B,C,E,F cùng thuộc 1 đường tròn
Cho 2 đtron bằng nhau tâm O và O' cắt nhau tại A và B vẽ đường kính AC của đtron (O) và AD của đtron (O') Gọi E là giao điểm AC với đtron (OO')
a, So sánh cung BC và cung BD của 2 đtron
b,CM:B là điểm chính giữa cung EBD
c,CM:O'B vuông góc với DE
Tam giác ABC cân ở A. Vẽ đường tròn tâm D, đường kính BC cắt AC và AB ở E và F. GỌi H là giao điểm của BE và CF. C/m:
a. 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc đường tròn tâm O.
b. DE là tiếp tuyến của (O)
cảm ơn mọi người trước nhé!!
a) Ta có \(\widehat{BEC},\widehat{BFC}\) là 2 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn\(\Rightarrow\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^0\Rightarrow\widehat{HFA}=\widehat{AEH}=90^0\)
Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{HFA}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)
Suy ra tứ giác AEHF nội tiếp hay 4 điểm A,E,H,F cùng thuộc đường tròn tâm O
b) Ta có \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^0\) Suy ra tứ giác BFEC nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
Mà \(\widehat{AFE}=\widehat{AEF}\)
Suy ra \(\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)\(\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{HAE}=\widehat{EBD}=\widehat{DEB}\)
Suy ra DE là tiếp tuyến của (O)
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm của BE và CE. CMR:
a, 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn
b, IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF
cho tam giác ABC cân tại A nt đtron (O). D là trung điểm AC. tiếp tuyến đtron tại A cắt BD tại E. Tia CE cắt (O) tại F. a) c/m : BC//AE b) c/m: ABCE là hình bình hành c) Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của BC và OI.So sánh góc BAC và BGO
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đtron tâm (O), vẽ 2 đtron AH,BK cắt nhau tại I AH cắt đtron tại E , BK cắt đtron tại F a) CM A,B,H,K cùng thuộc 1 đtron b) CM BH là phân giác của góc EBI và HK // EF
a: Vì góc AKB=góc AHB=90 độ
=>AKHB nội tiếp
b: góc FBC=góc HAC=góc EBC
=>BH là phân giác của góc EBI
Cho nửa đường tròn tâm O, đkinh AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đtron. Kẻ tiếp tuyến tại M là 1 điểm bất kì thuộc nửa đtron. Tiếp tuyến này cắt Ax, By tại C,D. CMR đtron đkinh CD tiếp xúc với AB.
Xét (O) có
CA,CM là tiếp tuyến
Do đó: OC là phân giác của \(\widehat{MOA}\)
=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)
Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
Do đó: OD là phân giác của góc MOB
=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)
\(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\left(\widehat{MOD}+\widehat{MOC}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{DOC}=180^0\)
=>\(\widehat{DOC}=90^0\)
=>ΔDOC vuông tại O
Gọi N là trung điểm của CD
ΔOCD vuông tại O
=>ΔOCD nội tiếp đường tròn đường kính CD
mà N là trung điểm của CD
nên ΔOCD nội tiếp (N)
Xét hình thang ACDB có
O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD
=>ON là đường trung bình của hình thang ACDB
=>ON//AC//BD
=>ON\(\perp\)AB tại O
Xét (N) có
NO là bán kính
AB\(\perp\)NO tại O
Do đó:AB là tiếp tuyến của (N)
=>Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB
cho đtron (O; R) đkinh B, dcung MN vuông góc với AB tại H ( H nằm giữa O và B). Trên tia đối của tia NM lấy C sao cho AC cắt (O) tại điểm K (K khác A). 2 dây MN và BK cắt nhau tại E. AI cắt KH tại P. C/m
a, 4 điểm A,H,E,K cung thuộc 1 đtron
b, Kéo dài AE cắt (O) tại I. C/m KAE = KBC
c, AE.AI + BE.BK = 4R2
d, HE là tia pgiac của KHI và PE.AI = EI.AP
a: Xét (O) có
ΔAKB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAKB vuông tại K
Xét tứ giác AKEH có \(\widehat{EHA}+\widehat{EKA}=90^0+90^0=180^0\)
nên AKEH là tứ giác nội tiếp
=>A,K,E,H cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
\(\widehat{KAI}\) là góc nội tiếp chắn cung KI
\(\widehat{KBI}\) là góc nội tiếp chắn cung KI
Do đó: \(\widehat{KAI}=\widehat{KBI}\)
=>\(\widehat{KAE}=\widehat{KBC}\)
c: Xét (O) có
ΔAIB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAIB vuông tại I
Xét ΔAHE vuông tại H và ΔAIB vuông tại I có
\(\widehat{HAE}\) chung
Do đó: ΔAHE đồng dạng với ΔAIB
=>\(\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{AE}{AB}\)
=>\(AE\cdot AI=AB\cdot AH\)
Xét ΔBHE vuông tại H và ΔBKA vuông tại K có
góc HBE chung
Do đó: ΔBHE đồng dạng với ΔBKA
=>\(\dfrac{BH}{BK}=\dfrac{BE}{BA}\)
=>\(BH\cdot BA=BE\cdot BK\)
\(AE\cdot AI+BE\cdot BK\)
\(=AH\cdot AB+BH\cdot AB\)
\(=AB^2=4R^2\)
Cho ∆ABC vuông ở A nội tiếp đtron (O;R). Gọi D là trung điểm của AC, AH là đường cao của ∆ABC.
1/ cm: A,H,O,D cùng thuộc đtron tâm (I)
2/XĐ vị trí tương đối của 2 dtron (OR) và (I)
3/ Đtron (I) cắt BA tại E. Chứng minh: E;I;D thẳng hàng
1: ΔABC vuông tại A
=>A,B,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
=>O là trung điểm của BC
ΔOAC cân tại O
mà OD là đường trung tuyến
nên OD vuông góc AC
Xét tứ giác AHOD có góc AHO+góc ADO=180 độ
nên AHOD nội tiếp đường tròn đường kính AO
2: I nằm giữa O và A
=>OI+IA=OA
=>OI=OA-IA=R-r
=>(I) tiếp xúc (O) tại A
3: Xét (I) có
ΔAEO nội tiếp
AO là đường kính
Do đó: ΔAEO vuông tại E
Xét tứ giác AEOD có
góc AEO=góc ADO=góc EAD=90 độ
=>AEOD là hình chữ nhật
=>AO cắt ED tại trung điểm của mỗi đường
=>E,I,D thẳng hàng