1: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

2: \(\widehat{EDM}=90^0\)

=>\(\widehat{EDH}+\widehat{MDH}=90^0\)

=>\(\widehat{EAH}+\widehat{MDH}=90^0\)

=>\(\widehat{MDH}+\widehat{HAC}=90^0\)

=>\(\widehat{MDH}+\widehat{ABC}=90^0\)

mà \(\widehat{MHD}+\widehat{MBD}=90^0\)

nên \(\widehat{MDH}=\widehat{MHD}\)

=>MD=MH

\(\widehat{MDH}+\widehat{MDB}=\widehat{HDB}=90^0\)

\(\widehat{MHD}+\widehat{MBD}=90^0\)(ΔHDB vuông tại D)

mà \(\widehat{MDH}=\widehat{MHD}\)

nên \(\widehat{MDB}=\widehat{MBD}\)

=>MD=MB

=>MB=MH

=>M là trung điểm của BH

\(\widehat{NED}=90^0\)

=>\(\widehat{NEH}+\widehat{DEH}=90^0\)

=>\(\widehat{NEH}+\widehat{DAH}=90^0\)

mà \(\widehat{DAH}=\widehat{C}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

nên \(\widehat{NEH}+\widehat{C}=90^0\)

mà \(\widehat{NHE}+\widehat{C}=90^0\)(ΔHEC vuông tại E)

nên \(\widehat{NEH}=\widehat{NHE}\)

=>NE=NH

\(\widehat{NEH}+\widehat{NEC}=\widehat{CEH}=90^0\)

\(\widehat{NHE}+\widehat{NCE}=90^0\)(ΔCEH vuông tại E)

mà \(\widehat{NHE}=\widehat{NEH}\)

nên \(\widehat{NEC}=\widehat{NCE}\)

=>NE=NC

mà NH=NE

nên NC=NH

=>N là trung điểm của HC

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{EAD}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\)

mà \(\widehat{AHD}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)

nên \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC=MB

MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}=\widehat{ACB}\)

\(\widehat{MAC}+\widehat{AED}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^0\)

=>AM vuông góc DE

a, Vì \(\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=\widehat{DAE}=90^0\) nên AEHD là hcn

Do đó AH=DE

b, Vì \(\widehat{HAB}=\widehat{MCA}\) (cùng phụ \(\widehat{CAH}\))

Mà \(\widehat{MCA}=\widehat{MAC}\) (do \(AM=CM=\dfrac{1}{2}BC\) theo tc trung tuyến ứng ch)

Vậy \(\widehat{HAB}=\widehat{MAC}\)

c, Gọi O là giao AM và DE

Vì AEHD là hcn nên \(\widehat{HAB}=\widehat{ADE}\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{ADE}\)

Mà \(\widehat{ADE}+\widehat{AED}=90^0\left(\Delta AED\perp A\right)\) nên \(\widehat{MAC}+\widehat{ADE}=90^0\)

Xét tam giác AOE có \(\widehat{AOE}=180^0-\left(\widehat{MAC}+\widehat{ADE}\right)=90^0\)

Vậy AM⊥DE tại O

a: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

b: ΔHDB vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên \(DI=IH=IB\)

Xét ΔIHD có IH=ID

nên ΔIHD cân tại I

=>\(\widehat{IHD}=\widehat{IDH}\)

mà \(\widehat{IHD}=\widehat{HCA}\)(hai góc đồng vị, HD//AC)

nên \(\widehat{IDH}=\widehat{HCA}\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{EAH}=\widehat{EDH}\)

=>\(\widehat{EDH}=\widehat{HAC}\)

\(\widehat{IDE}=\widehat{IDH}+\widehat{EDH}\)

\(=\widehat{HAC}+\widehat{HCA}\)

\(=90^0\)

=>DI\(\)\(\perp\)DE

c: ΔCEH vuông tại E

mà EK là đường trung tuyến

nên EK=KH=KC

Xét ΔKEH có KE=KH

nên ΔKEH cân tại K

=>\(\widehat{KEH}=\widehat{KHE}\)

mà \(\widehat{KHE}=\widehat{CBA}\)(hai góc đồng vị, HE//AB)

nên \(\widehat{KEH}=\widehat{CBA}=\widehat{HBA}\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{HAD}=\widehat{HED}\)

=>\(\widehat{HED}=\widehat{HAB}\)

\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)

=>KE\(\perp\)DE

Ta có: KE\(\perp\)DE

ID\(\perp\)KE

Do đó: ID//KE

Xét tứ giác KEDI có

KE//DI

KE\(\perp\)ED

Do đó: KEDI là hình thang vuông

d: DI=1cm

mà HB=2DI

nên HB=2*1=2=2cm

EK=4cm

mà CH=2EK

nên \(CH=2\cdot4=8cm\)

BC=BH+CH

=2+8

=10cm

Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot10=30\left(cm^2\right)\)

a: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{EAD}=\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

Suy ra: AH=DE