Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A có đường cao AH. Biết \(\frac{AH}{AC}=\frac{3}{5}\)và AB=15 cm.
a/ Tính HB,HC
b/ Gọi E,F là hình chiếu của H trên AB,AC.Cm \(AH^3=BC.BE.CF\)
c/ Cm đường trung tuyến AM của \(\Delta ABC\)vuông góc với EF
cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AH/AC=3/5 và AB=15cm.
a) Tính BH, CH.
b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu trên AB, AC. CM: AH^3=BC.BE.CF.
c) CM: Đường trung tuyến AM vuông góc với EF
Cho tam giác ABC, Â=90 , đường cao AH biết AH.AC=3.5 và AB=15cm.
a/ Tính HB, HC
b/ Gọi E, F là hình chiếu của H lên AB,AC c/m AH^3 = BC.BE.CF
Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng các định lý trong hình học tam giác. a/ Để tính HB và HC, ta cần tìm độ dài đường cao AH trước. Với thông tin AH.AC = 3.5 và AC = 15cm, ta có thể tính được AH: AH = (AH.AC)/AC = (3.5)/(15) = 0.2333 cm Tiếp theo, ta xét tam giác ABC với tam giác ABC. góc B và đường cao AH. Áp dụng định lý Pythagoras, ta có công thức: AB^2 = AH^2 + BH^2 Với độ dài AB = 15cm, ta có: 15^2 = 0,2333^2 + BH^2 225 = 0,0544 + BH^2 BH^2 = 224,9456 BH ≈ 14,998 cm Tương tự, ta có: HC ≈ 0,2333 cm Vậy HB ≈ 14,998 cm và HC ≈ 0,2333 cm. b/ Để chứng minh AH^3 = BC.BE.CF, ta sẽ sử dụng các tỷ lệ trong tam giác tương đồng. Kiểm định tam giác AHB và tam giác AFC, ta có: AH/AF = HB/FC 0.2333/AF = 14.998/(15 - FC) Tương tự, xét tam giác AHC và tam giác AEB, ta có: AH/AE = HC/EB 0.2333/AE = 0.2333/(15 - EB ) Từ hai tỷ lệ trên, ta có: AF/(15 - FC) = AE/(15 - EB) Nhân cả hai quan sát với (15 - FC)(15 - EB), ta có: AF(15 - EB) = AE(15 - FC) Vậy ta có BC.BE.CF = AF(15 - EB) = AE(15 - FC) = AH^2. Do đó, AH^3 = BC.BE.CF.
a: Sửa đề: AH/AC=3/5
Xét ΔAHC vuông tại H có sin C=AH/AC=3/5
Xét ΔABC vuông tại A có sin C=AB/BC
=>15/BC=3/5
=>BC=25(cm)
=>\(AC=\sqrt{25^2-15^2}=20\left(cm\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên BH*BC=BA^2; CH*CB=CA^2
=>BH=15^2/25=9cm; CH=20^2/25=16cm
b: BC*BE*CF
=BC*BH^2/BA*CH^2/CA
=AH^4/AH
=AH^3
Cho tam giác ABC, Â=90 , đường cao AH biết AH.AC=3.5 và AB=15cm.
a/ Tính HB, HC
b/ Gọi E, F là hình chiếu của H lên AB,AC c/m AH^3 = BC.BE.CF
Đề đúng là: \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{3}{5}\). Bạn tự vẽ hình nhé.
(a) Theo đề: \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{3}{5}\Leftrightarrow AC=\dfrac{5}{3}AH\)
Ta có: \(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pythagoras\right)\)
\(\Leftrightarrow BC^2=15^2+\left(\dfrac{5}{3}AH\right)^2\Rightarrow BC=\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}\)
Lại có: \(AB^2=BC.HB\Leftrightarrow HB=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{15^2}{\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}}\)
Ta cũng có: \(AH^2=HB.HC=HB\left(BC-HB\right)=BC.HB-HB^2\)
\(\Leftrightarrow AH^2=\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}\cdot\dfrac{15^2}{\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}}-\left(\dfrac{15^2}{\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}}\right)^2\)
\(=15^2-\dfrac{15^4}{225+\dfrac{25}{9}AH^2}\)
\(\Rightarrow AH=12\left(cm\right)\)
Thay vào tính được: \(HB=9\left(cm\right);BC=25\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow HC=BC-HB=25-9=16\left(cm\right)\)
(b) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H:BE.AB=HB^2\Leftrightarrow BE=\dfrac{HB^2}{AB}\)
Tương tự, \(\Delta AHC\) vuông tại \(H:CF.AC=HC^2\Leftrightarrow CF=\dfrac{HC^2}{AC}\)
Ta có: \(BC.BE.CF=\left(\dfrac{AB.AC}{AH}\right)\cdot\dfrac{HB^2}{AB}\cdot\dfrac{HC^2}{AC}\)
\(=\dfrac{HB^2.HC^2}{AH}=\dfrac{\left(HB.HC\right)^2}{AH}=\dfrac{\left(AH^2\right)^2}{AH}=AH^3\left(đpcm\right)\)
Cho tam giác ABC vuông tại A ; đg cao AH . Biết \(\frac{AH}{AC}=\frac{3}{5}\) và AB=15 cm
a. Tính BH , CH
b. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của H lên AB;AC . C/M : AH^3=BC.BE.CF
c. C/M : trung tuyến AM của tam gáic ABC vuông góc với EF
d. giả sử S ABC=2 S AEHF . C/M : ABC vuông cân
a) Chứng minh \(\Delta ABH\)đồng dạng với \(\Delta CAH\)(G.G)
\(=>\frac{BH}{AB}=\frac{AH}{AC}\) \(=>\frac{BH}{15}=\frac{3}{5}\)
\(=>BH=9\)
Mà \(AB^2=BH.BC\)
=> \(BC=\frac{15^2}{9}=25\)
=> \(HC=25-9=16\)
Ta có \(AH^2=HB.HC\)
=> \(AH^4=HB^2.HC^2\)
Mà \(\begin{cases}HB^2=BE.AB\\HC^2=CF.AC\end{cases}\)
=> \(AH^4=BE.CF.AB.AC\)
Mà \(AB.AC=AH.BC\)
=> \(AH^4=BE.CF.BC.AH\)
=> đpcm
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 6cm, AC = 8cm.
a) Tính AH, HB, HC
b) Gọi M là trung điểm của BC, D và E là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh AD.AB = AE.AC. Từ đó suy ra \(\Delta AED\) đồng dạng \(\Delta ABC\)
c) Chứng minh \(DE\perp AM\)
a: Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)
hay BC=10cm
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB\cdot AC=AH\cdot BC\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=4.8\left(cm\right)\\BH=3.6\left(cm\right)\\CH=6.4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
b:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AE\cdot AC=AH^2\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ΔABH vuông tại A có HD là đường cao ứng với cạnh huyền BA, ta được:
\(AD\cdot AB=AH^2\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) suy ra \(AE\cdot AC=AD\cdot AB\)
hay \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\)
Xét ΔAED vuông tại A và ΔABC vuông tại A có
\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\)
Do đó: ΔAED\(\sim\)ΔABC
Cho Δ\(ABC\) vuông tại \(A\) , đường cao \(AH\) . Gọi \(E\) ,\(F\) lần lượt là các hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\) . CMR:
\(a\)) \(AE.AB=AF.AC\)
\(b\)) \(\dfrac{BF}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
\(c\)) \(BC.BE.CF=AH^3\)
a)Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:
\(AH^2=AE.AB\)
\(AH^2=AF.AC\)
\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)
b)(\(\dfrac{BE}{CF}\) chứ)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:
\(AB^2=BH.BC\)
\(AC^2=CH.BC\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH}{CH}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{AB^4}{AC^4}=\dfrac{BH^2}{CH^2}=\dfrac{BE.AB}{CF.AC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
c)Áp dụng định lý Thales có:
\(\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BE}{BA}\Leftrightarrow BA.BH=BE.BC\)
\(\dfrac{CF}{CA}=\dfrac{CH}{BC}\Leftrightarrow CF.BC=CA.CH\)
\(\Rightarrow BA.CA.BH.CH=BE.CF.BC^2\)
\(\Leftrightarrow AH.BC.AH^2=BC^2.BE.BF\)
\(\Leftrightarrow BC^..BE.BF=AH^3\)
Vậy ....
a) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H có \(HE\bot AB\Rightarrow AE.AB=AH^2\)
Xét \(\Delta AHC\) vuông tại H có \(HF\bot AC\Rightarrow AF.AC=AH^2\)
\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)
b) sửa đề: \(\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
Dễ dàng chứng minh được EHAF là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)
Ta có: \(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH.BC}{CH.BC}=\dfrac{BH}{CH}\)
Vì \(HF\parallel AB\) \(\Rightarrow\angle EBH=\angle FHC\)
Xét \(\Delta BEH\) và \(\Delta HFC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BEH=\angle HFC=90\\\angle EBH=\angle FHC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta BEH\sim\Delta HFC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HE}{CF}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{EH}{CF}.\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{HE.AB}{AC.CF}\left(1\right)\)
Vì \(HE\parallel AC\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BE}{HE}\Rightarrow BE=\dfrac{AB}{AC}.HE\left(2\right)\)
Thế (2) vào (1) \(\Rightarrow\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
c) Ta có: \(AH^4=\left(AH^2\right)^2=\left(BH.CH\right)^2=BH^2.CH^2\)
\(=BE.BA.CF.CA=BE.CF.AH.BC\left(AB.AC=AH.BC\right)\)
\(\Rightarrow AH^3=BE.CF.BC\)
Cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC). Kẻ đường cao AH
a. Chứng minh:\(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH}{CH}\)
b. Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với trung tuyến AM cắt AH tại D và cắt AM tại E và cắt AC tại F. Chứng minh D là trung điểm của BF
c.Chứng minh: BE.BF=BH.BC
d.Biết AB=12 cm; BC=20cm. Tính AH,BH,HC
e.Tính độ dài DE va AF
f. Gọi J,I là hình chiếu của H trên AB,AC.Chứng minh: IJ vuông góc AM
g.Chứng minh: \(\frac{BJ}{CI}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^3\)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) có đường cao AH, trung tuyến AM. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC; I và K lần lượt là trung điểm của HB và HC. Chứng minh:
a/ AH.BC=HF.AC+HE.AB
b/ BC2=BE2+CF2+3AH2
c/ AB2/AC2=HB/HC và AB3/AC3=BE/CF
d/AF.FC+AE.EB=HB.HC
e/AH3=BC.HE.HF và AH3=BC.BE.CF
f/ AM vuông góc với EF
Cho tam giác ABC vuông tại A( AB<AC ), có đường cao AH, trung tuyến AM Gọi E và F lần lượt la hình chiếu của H lên AB và AC; I và K lần lượt là trung điểm của HB và HC. CM :
đề kiểu gì thế ?
Điểm E; Điểm F; Điểm H đây vậy bạn ơi
Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. D và E là hình chiếu của H lên AB và AC. Vẽ phân giác góc ACB cắt AM và AB lần lượt tại E và F. CM\(\frac{CF}{FG}-\frac{CB}{CA}=1\)