Cm:4 điểm thuộc một đường tròn: 1) A,F,D,C 2)A,E,D,B 3) gọi H là giải điểm của 3 đường cao Cm: A,F,H,E 4) E,H,D,C 5) E,H,D,B (Vẽ thêm hình càng tốt ạ)
cho Tam giác nhọn ABC, kẻ các đường cao AD,BÉ,CF Cm:4 điểm thuộc một đường tròn: 1) A,F,D,C 2)A,E,D,B 3) gọi H là giải điểm của 3 đường cao Cm: A,F,H,E 4) E,H,D,C 5) E,H,D,B (Vẽ thêm hình càng tốt ạ)
1: Xét tứ giác AFDC có
\(\widehat{AFC}=\widehat{ADC}=90^0\)
nên AFDC là tứ giác nội tiếp
2: Xét tứ giác AEDB có
\(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^0\)
nên AEDB là tứ giác nội tiếp
3:
Xét tứ giác AFHE có
\(\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)
=>AEHF là tứ giác nội tiếp
4: Xét tứ giác HECD có
\(\widehat{HEC}+\widehat{HDC}=90^0+90^0=180^0\)
=>HECD là tứ giác nội tiếp
Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $B C=6$cm. Trên nửa đường tròn lấy điểm $A$ (điểm $A$ khác điểm $B$, điểm $A$ khác điểm $C$). Vẽ đường cao $A H$ của tam giác $A B C$ ( $H \in B C$), trên $B C$ lấy điểm $D$ sao cho $B D=B A$. Kẻ đường thẳng $A D$, gọi điểm $E$ là hình chiếu của điểm $C$ trên đường thẳng $A D$.
1) Chứng minh tứ giác $A H E C$ là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh: $D A$. $H E=D H . A C$ và tam giác $E H C$ cân.
3) Gọi $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta A B H, \Delta A C H, \Delta A B C$. Tìm vị trí của điểm $A$ trên nửa đường tròn để $R_{1}+R_{2}+R_{3}$ đạt giá trị lớn nhất.
a) Tự làm nhá
b) +) CM \(\Delta ADC~\Delta HDE\left(g-g\right)\)
=> DA.HE=DH.AC
+) \(\Delta BAD\)cân\(=>\widehat{BAD}=90^0-\frac{1}{2}\widehat{B}=\widehat{CAD}\)
mà \(\widehat{CAD}=\widehat{B}\)
=> AD là tia phân giác góc HAC => Góc HAE = góc CAE => cung HE= cung CE => cạnh HE = cạnh CE => tam giác cân (dpcm)
3) Xét \(\Delta MNP\)zuông tại M ngoại tiếp đươg tròn tâm I , bán kính r , tiếp xúc các cạnhMN , MP,NP thứ tự tại D, E ,F
ta có \(\widehat{IEM}=\widehat{IDM}=\widehat{DME}=90\);ID =IE=r
=> tứ giác IEMD là hình zuông
=> MD=ME=r
Có ND=NF,PE =PF( các tia tiếp tuyến cắt nhau)
=> MN+MP-NP=MD+ND+ME+PE-NF-PF=MD+ME=2r
tam giác ABH zuông tại H có \(\hept{\begin{cases}R_1=\frac{AH+BH-AB}{2}\\\end{cases}}\)
Tam giác ACH zuông tại H có \(R_2=\frac{AH+CH-AC}{2}\)
tam giác ABC zuông tại A có \(R_3=\frac{AB+AC-BC}{2}\)
\(=>R_1+R_2+R_3=AH\)
ta có \(AH\le AO=\frac{6}{2}=3cm\)
dấu = xảy ra khi H trung O
=> A là điểm chính giữa cung BC
Nguồn : https://qanda.ai/vi/solutions/npWTTopujG-Cho-n%E1%BB%ADa-%C4%91%C6%B0ong-tr%C3%B2n-t%C3%A2m-O-d%C6%B0%E1%BB%9Dng-k%C3%ADnh-BC6cm-Tr%C3%AAn-n%E1%BB%ADa-%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng-tr%C3%B2n
BÀI 1: cho tam giác abc vuông tại a ,các đường cao BE,CF cắt nhau tại H .Gọi D là trung điểm BC.
a, CM : D,H,E,C thuộc 1 đường tròn
b,Tìm tâm đường tròn đi qua 4 điểm A,F,D,C
Giúp mình với mình cần gấp ạ:
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (O), (B,C là 2 tiếp điểm)
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn
b) vẽ cát tuyến ADE của(O) sao cho cát tuyến ADE nằm giữa 2 tia AO, AB; D,E thuộc đường tròn (O) và D nằm giữa A,E. CM AB2 = AD.AE
c) Gọi F là điểm đối xứng CỦa D qua OA, H là giao điểm của OA và BC. CM: ba điểm E,F,H thẳng hàng
a. AB là tiếp tuyến của đt (O) tại B (gt) => \(\widehat{OBA}=90^o\)
AC là tiếp tuyến của đt (O) tại C (gt) => \(\widehat{OCA}=90^o\)
Xét tứ giác ABOC có: \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^o+90^o=180^o\)=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn (Dhnb) => Đpcm
b.
Xét đt (O) có: \(\widehat{ABD}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BD}\)(T/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
\(\widehat{BED}=\widehat{BEA}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BD}\)(T/c góc nội tiếp của đt) (Do A,D,E (gt) => \(\widehat{BED}=\widehat{BEA}\))
=> \(\widehat{ABD}=\widehat{BEA}\)
Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta AEB\)có:
* \(\widehat{A}chung\)
* \(\widehat{ABD}=\widehat{BEA}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta ABD~\Delta AEB\left(g.g\right)\)=> \(\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\RightarrowĐpcm\)
c. Vì F là điểm đối xứng của D qua OA => OA là đường trung trực của DF (Đ/n đối xứng trục) => OD = OF = R (T/c điểm thuộc đường trung trực) => F \(\in\left(O\right)\)và \(\Delta ODF\)cân tại O (Đ/n) => OA vừa là đường trung trực của đoạn thẳng DF đồng thời là đường phân giác của \(\widehat{DOF}\)(T/c của \(\Delta\)cân)=> \(\widehat{DOA}=\widehat{FOA}=\frac{1}{2}\widehat{DOF}=\frac{1}{2}sđ\widebat{DF}\)
Xét đt (O) có: \(\widehat{DEF}=\frac{1}{2}sđ\widebat{DF}\)(T/c góc nội tiếp) => \(\widehat{DOA}=\widehat{DEF}\)(1)
Ta có: AB,AC lần lượt là 2 tiếp tuyến của đt (O) (B,C là 2 tiếp điểm) (gt) => OA là tia phân giác của \(\widehat{BOC}\)(Định lý về 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Lại có: OB = OC = R => \(\Delta OBC\)cân tại O (Đ/n) => OA vừa là phân giác đồng thời là đường cao của \(\Delta OBC\)(T/c của \(\Delta\)cân)=> \(OA\perp BC\)tại H (H là giao điểm của OA và BC)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta\)vuông ABO (vuông tại B) với đường cao BH ta được: \(AB^2=AH.AO\)
Mà \(AB^2=AD.AE\left(cmt\right)\)=> \(AD.AE=AH.AO\Leftrightarrow\frac{AD}{AO}=\frac{AH}{AE}\)
Xét \(\Delta AHD\)và \(\Delta AEO\)có:
* \(\widehat{A}\)chung
* \(\frac{AD}{AO}=\frac{AH}{AE}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta AHD~\Delta AEO\left(c.g.c\right)\)=> \(\widehat{AHD}=\widehat{AEO}=\widehat{DEO}\left(Do\overline{A,D,E}\Rightarrow\widehat{AEO}=\widehat{DEO}\right)\)=> Tứ giác DEOH là tứ giác nội tiếp (Dhnb) => \(\widehat{DEH}=\widehat{DOH}=\widehat{DOA}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{DH}\)) (Do A,H,O => \(\widehat{DOH}=\widehat{DOA}\)) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{DEF}=\widehat{DEH}\)=> 3 điểm E,F,H thẳng hàng ( 2 góc cùng số đo, có 1 cạnh chung, 2 cạnh còn lại của 2 góc cùng nằm về 1 phía so với cạnh chung thì 2 cạnh còn lại trùng nhau) => Đpcm.
Giúp mình giải bài toán này với ạ!
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BE và CF cắt nhau tại H
a) C/m: AH vuông góc BC
b)C/m: 4 điểm A, E, H, F thuộc 1 đường tròn
c) Gọi D là giao điểm của AH và BC, c/m DE là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 4 điểm A, E, H, F
d) Biết AB = 9cm, BC= 12cm, tính DH
Cho tam giác ABC nhọn vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. BF cắt CE tại H. a) cm AH vuông góc với BC; b) cm AE.AB = AF.AC c) Cm góc AEF = góc ACB ; d) Cm 4 điểm A, E, H, F cùng thuộc 1 đường tròn
a: Xét (O) có
ΔBEC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBEC vuông tại E
=>CE\(\perp\)AB
Xét (O) có
ΔBFC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBFC vuông tại F
=>BF\(\perp\)AC
XétΔABC có
CE,BF là đường cao
CE cắt BF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC
b: Xét ΔAEC vuông tại E và ΔAFB vuông tại F có
\(\widehat{A}\) chung
Do đó: ΔAEC ~ΔAFB
=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AC}{AB}\)
=>\(AE\cdot AB=AC\cdot AF;\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
c: Xét ΔAEF và ΔACB có
\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
\(\widehat{FAE}\) chung
Do đó: ΔAEF~ΔACB
=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)
d: Xét tứ giác AEHF có
\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)
=>AEHF là tứ giác nội tiếp
=>A,E,H,F cùng thuộc một đường tròn
Cho tam giác ABC cân tại A,gọi E là trung điểm của BC,BD là đường cao tam giác ABC.Gọi giao điểm của AE và BD là H.
a,Cm: 4 điểm : A,D,E,B thuộc đường tròn (O)
b, Xác định (O') của đường tròn đi qua 3 điểm H,D,C
c, CM : O và O' có 2 điểm chung
a. Gọi O là trung điểm AB
Tam giác ADB vuông tại D
=> Tam giác ADB nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AB (1)
Tam giác ABC cân tại A có AE là trung tuyến
=> AE cũng là đường cao của tam giác
=>AE vuông góc BC
Tam giác AEB vuông tại E
=>Tam giác AEB nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AB (2)
(1)(2) => A,D,B,E cùng thuộc đường tròn tâm O, đường kính AB
b. Tam giác HCD vuông tại D
=>Tam giác HCD nội tiếp đường tròn đường kính HC
=>Tâm O' của đường tròn đi qua 3 điểm H,C,D là trung điểm của cạnh HC.
Nhanh nhanh giúp mình nha, các bạn yêu Toán ơi!
1.Cho đường tròn(O), đường kính AB=2R.C là một điểm bất kì di động trên đường tròn(O). Tìm tập hợp các trọng tâm G của tam giác ABC
2.Cho hình thang cân ABCD(AB//CD).CM 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc 1 đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó
3.Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AD,BE,CF gặp nhau tại H
a)Cm 4 điểm A,E,H,F thuộc cùng 1 đường tròn. Xác định tâm O của đường tòn đó
b)Cm 4điểm B,E,F,C nằm trên 1 đường tròn. Xác định tâm K của đường tròn đó
YÊU NHIỀU BẠN GIẢI'''
Cho tam giác ABC tù. Vẽ đường tròn (O) đường kính ABvaf đường tròn (O') đường kính AC. Đường thẳng AB cắt (O') tại D, AC cắt (O) tại E.
1, CM: B, C, D, E cùng nằm trên 1 đường tròn
2, Gọi F là giao điểm (O) và (O') (F khác A). CM: B, F, C thẳng hàng và FA là tia phân giác của góc EFD.
3, Gọi H là giao điểm của AB và EF. CM: BH.AD = AH.BD