Lời giải:
Xét csn $(u_n)$ với công bội $q$

Ta có:

$S_n=u_1+u_2+...+u_n=u_1+u_1q+u_1q^2+....+u_1q^{n-1}$

$=u_1(1+q+q^2+....+q^{n-1})$

$qS_n=u_1(q+q^2+q^3+....+q^n)$

$\Rightarrow qS_n-S_n=u_1(q^n-1)$

$\Rightarrow S_n(q-1)=u_1(q^n-1)$

$\Rightarrow S_n=\frac{u_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

Ta có đpcm.

a)
\(S_1=\dfrac{1}{1.5}=\dfrac{1}{5}\)
\(S_2=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{5}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}\right)=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{9}\right)=\dfrac{2}{9}\).
\(S_3=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{13}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{13}\right)=\dfrac{3}{13}\).
\(S_4=\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}+\dfrac{1}{13.17}\)\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{13}-\dfrac{1}{17}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{17}\right)=\dfrac{4}{17}\).
b) Dự đoán công thức : \(S_n=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4n+1}\right)\).
Chứng minh bằng quay nạp:
Với \(n=1\): \(S_1=\dfrac{1}{1.5}=\dfrac{1}{5}\).
Vậy giả thiết quy nạp đúng với n = 1.
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(S_k=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4k+1}\right)\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\): \(S_{k+1}=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4\left(k+1\right)+1}\right)\)
Thật vậy:
\(S_{k+1}=S_k+\dfrac{1}{\left[4\left(k+1\right)-3\right].\left[4\left(k+1\right)+1\right]}\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4k+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4\left(k+1\right)-3}-\dfrac{1}{4\left(k+1\right)+1}\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4k+1}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4k+1}-\dfrac{1}{4\left(k+1\right)+1}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{4\left(k+1\right)+1}\right)\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.

b)
Với n = 1.
\(VT=B_n=1;VP=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{6}=1\).
Vậy với n = 1 điều cần chứng minh đúng.
Giả sử nó đúng với n = k.
Nghĩa là: \(B_k=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(B_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)\left(k+1+2\right)}{6}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Thật vậy:
\(B_{k+1}=B_k+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.

c)
Với \(n=1\)
\(VT=S_n=sinx\); \(VP=\dfrac{sin\dfrac{x}{2}sin\dfrac{2}{2}x}{sin\dfrac{x}{2}}=sinx\)
Vậy điều cần chứng minh đúng với \(n=1\).
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(S_k=\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\):
Nghĩa là: \(S_{k+1}=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(S_{k+1}-S_k\)\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}-\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.\left[sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}-sin\dfrac{kx}{2}\right]\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.2cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sim\dfrac{x}{2}\)\(=2sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}=2sin\left(k+1\right)x\).
Vì vậy \(S_{k+1}=S_k+sin\left(k+1\right)x\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.

a) Ta có:

b) Từ câu a) ta dự đoán (1), với mọi n ε N^{* .}

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi n = 1, vế trái là , vế phải bằng . Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = ≥ 1, tức là

Ta phải chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1, nh=ghĩa là phải chứng minh

Ta có

=

tức là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1.

Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.

a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.

b) Ta có: u₁ = 3 = √9 = √(1 + 8)

u₂ = √10 = √(2 + 8)

u₃ = √11 = √(3 + 8)

u₄ = √12 = √(4 + 8)

...........

Từ trên ta dự đoán u_n = √(n + 8), với n ε N^{* (1)}

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có u_k = √(k + 8) với k ≥ 1.

Theo công thức dãy số, ta có:

u_k+1 = .

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.

a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.

b) Ta có: u₁ = 3 = √9 = √(1 + 8)

u₂ = √10 = √(2 + 8)

u₃ = √11 = √(3 + 8)

u₄ = √12 = √(4 + 8)

...........

Từ trên ta dự đoán u_n = √(n + 8), với n ε N^{* (1)}

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có u_k = √(k + 8) với k ≥ 1.

Theo công thức dãy số, ta có:

u_k+1 = .

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.

a)    Ta có:

\({S_n}.q = \left( {{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\)

\(\begin{array}{l}{S_n} - {S_n}.q = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}} - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right) - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}} - \left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)} \right)\\ = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\end{array}\)

b)    Ta có: \({S_n} - {S_n}.q = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n}\left( {1 - q} \right) = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{\left( {1 - q} \right)}}\)

Bạn ghi đề bài sai thì phải, \(\frac{1}{\left(4n-1\right)\left(4n+1\right)}\) không hề phù hợp với các số hạng đầu tiên

\(u_3=u_2^2-u_2+2=4\)

\(S_1=1=\left(2-1\right)^2=\left(u_2-1\right)^2\)

\(S_2=2.5-1=9=\left(4-1\right)^2=\left(u_3-1\right)^2\)

Dự đoán \(S_n=\left(u_{n+1}-1\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp:

- Với \(n=1;2\) đúng (đã kiểm chứng bên trên với \(S_1;S_2\))

- Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\)

Hay \(S_k=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_k^2+1\right)-1=\left(u_{k+1}-1\right)^2\)

Ta cần chứng minh:

\(S_{k+1}=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_k^2+1\right)\left(u_{k+1}^2+1\right)-1=\left(u_{k+2}-1\right)^2\)

Thật vậy:

\(S_{k+1}=\left[\left(u_{k+1}-1\right)^2+1\right]\left(u_{k+1}^2+1\right)-1\)

\(=\left(u_{k+1}^2-2u_{k+1}+2\right)\left(u_{k+1}^2+1\right)-1\)

\(=\left(u_{k+2}-u_{k+1}\right)\left(u_{k+2}+u_{k+1}-1\right)-1\)

\(=u_{k+2}^2-u_{k+2}-u_{k+1}^2+u_{k+1}-1\)

\(=u_{k+2}^2-u_{k+2}+2-u_{k+2}-1\)

\(=\left(u_{k+2}-1\right)^2\) (đpcm)

e cảm ơn ạ