\(u_n=\dfrac{n^2+1}{2n^2-3}\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{n^2+1}{n^2-1,5}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n^2-1,5+2,5}{n^2-1,5}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{2.5}{n^2-1,5}\right)< \dfrac{1}{2}\)

=>(U_n) là dãy số bị chặn

a:

\(0< =cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)< =1;n\in Z^+\)

Khi n chẵn thì \(\left(-1\right)^n=1\)

=>\(u_n=cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)\)

=>\(0< =u_n< =1\)

=>\(\left(u_n\right)\) bị chặn ở khoảng [0;1]

Khi n lẻ thì \(\left(-1\right)^n=-1\)

=>\(u_n=-cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)\)

\(0< =cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)< =1\)

=>\(0>=-cos\left(\dfrac{\Omega}{2n}\right)>=-1\)

=>\(0>=u_n>=-1\)

=>\(\left(u_n\right)\) bị chặn ở khoảng [-1;0]

b: \(-1< =\dfrac{1}{5^n}< =0\)

=>\(-\sqrt{2}< =\dfrac{\sqrt{2}}{5^n}< =0\)

=>\(-\sqrt{2}< =t_n< =0\)

Vậy: Dãy số bị chặn ở khoảng \(\left[-\sqrt{2};0\right]\)

Chọn C.

Ta có: u_n+1 – u_n = (n + 1)³ + 2(n + 1) – n³ – 2n = 3n² + 3n + 3        

Mặt khác: u_n > 1 và khi n càng lớn thì u_n càng lớn.

Vậy dãy (u_n) là dãy tăng và bị chặn dưới.

Đáp án A

Ta có:  u n = 2 ( n + 1 ) − 13 3 ( n + 1 ) − 2 =   2 n − 11 3 n + 1

Xét hiệu: 

u n + 1 − u n = 2 n − 11 3 n + 1 − 2 n − 13 3 n − 2 = ( 2 n − 11 ) . ( 3 n − 2 ) − ( 2 n − 13 ) . ( 3 n + 1 ) ( 3 n + 1 ) ( 3 n − 2 ) = 6 n 2 − 4 n − 33 n + ​ 22 − ( 6 n 2 + ​ 2 n − ​​ 39 n    − 13 ) ( 3 n + 1 ) . ( 3 n − 2 ) = 35 ( 3 n + 1 ) ( 3 n − 2 ) > 0

với mọi n ≥ 1 .

Suy ra u n + 1 > u n    ∀ n ≥ 1 ⇒  dãy ( u n   ) là dãy tăng.

Mặt khác:  u n = 2 3 − 35 3 ( 3 n − 2 ) ⇒ u n < 2 3    ∀ n ≥ 1

Suy ra  u n bị chặn trên

∀ n    ≥ 1    : ​   3 n − 2    ≥ 1    ⇒ 35 3 ( 3 n − 2 )    ≤ 35 3.1 =    35 3 ⇒ u n ≥ 2 3 −    35 3 =    − 11

Nên  ( u n )  bị chặn dưới.

Vậy dãy  ( u n )  là dãy bị chặn.

Chọn đáp án A.

Ta có: u n + 1 − u n = 2 n − 11 3 n + 1 − 2 n − 13 3 n − 2 = 35 ( 3 n + 1 ) ( 3 n − 2 ) > 0  với mọi  n ≥ 1

Suy ra u n + 1 > u n    ∀ n ≥ 1 ⇒  dãy ( u n )  là dãy tăng.

Mặt khác:  u n = 2 3 − 35 3 ( 3 n − 2 ) ⇒ − 11 ≤ u n < 2 3    ∀ n ≥ 1

Vậy dãy ( u n )   là dãy bị chặn.

Chọn đáp án A

Xét hiệu:  u n + 1 − u n = 2 n + 1 n + 4 − 2 n − 1 n + 3

= 2 n 2 + 7 n + 3 − 2 n 2 − 7 n + 4 n + 4 n + 3 = 7 n + 4 n + 3 > 0 ; ∀ n ∈ N *

Vậy: ( u n ) là dãy số tăng.

Ta có  u n = 2 n − 1 n + 3 = 2 ( n + 3 ) − 7 n + 3 = 2 − 7 n + 3

 Suy ra: ∀ n ∈ ℕ * , u n < 2  nên   ( u n )  bị chặn trên.

 Vì  ( u n ) là dãy số tăng ∀ n ∈ ℕ * , u 1 = 1 4 ≤ u n  nên  ( u n )  bị chặn dưới. Vậy  ( u n )  bị chặn.

Chọn đáp án C.