Theo giả thiết, ta có: \(\left(a+b\right)c=ab\Leftrightarrow c^2=ab-ac-bc+c^2\)

\(\Leftrightarrow c^2=a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\Leftrightarrow c^2=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)(1)

Đặt \(\left(a-c;b-c\right)=d\). Khi đó thì \(\hept{\begin{cases}a-c⋮d\\b-c⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(a-c\right)\left(b-c\right)⋮d^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(c^2⋮d^2\Leftrightarrow c⋮d\). Mặt khác \(\hept{\begin{cases}a-c⋮d\\b-c⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a⋮d\\b⋮d\end{cases}}\)

Suy ra được: \(\left(a,b,c\right)=d\)mà a,b,c nguyên tố cùng nhau nên d = 1

Vậy thì \(\left(a-c;b-c\right)=1\)

Mà \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)=c^2\)nên tồn tại hai số nguyên dương m, n sao cho \(\hept{\begin{cases}a-c=m^2\\b-c=n^2\end{cases}}\Rightarrow c^2=\left(mn\right)^2\Rightarrow c=mn\)(do c, m, n nguyên dương)

Khi đó \(a+b=\left(a-c\right)+\left(b-c\right)+2c\)

\(=m^2+n^2+2mn=\left(m+n\right)^2\)(là số chính phương)

Vậy a + b là số chính phương (đpcm)

Gọi UCLN của a-c và b-c là d
 
mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Do đó a-c và b-c là hai số chính phương. Đặt a-c = p2; b-c = q2
( p; q là các số nguyên)
c2 = p2q2
c = pq
a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương

tích mik nhé

Cho các số nguyên dương a;b;c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a+b)c=ab.

Xét tổng M=a+b có phải là số chính phương không ? Vì sao?
 

\

Gọi UCLN của a-c và b-c là d
 
mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Do đó a-c và b-c là hai số chính phương. Đặt a-c = p2; b-c = q2
( p; q là các số nguyên)
c2 = p2q2
c = pq
a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương

Gọi UCLN của a‐c và b‐c là d

mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Do đó a‐c và b‐c là hai số chính phương. Đặt a‐c = p2; b‐c = q2
﴾ p; q là các số nguyên﴿
c2 = p2q2
c = pq
a+b = ﴾a‐ c﴿ + ﴾b – c﴿ + 2c = ﴾ p+ q﴿2 là số chính phương

Gọi ƯCLN của a‐c và b‐c là d

Mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1

Do đó a‐c và b‐c là hai số chính phương. Đặt a‐c = p2; b‐c = q2

﴾ p; q là các số nguyên﴿

c2 = p2q2c = pq a+b = ﴾a‐ c﴿ + ﴾b – c﴿ + 2c = ﴾ p+ q﴿2 là số chính phương.

đặt 2n + 34 = a^2

34 = a^2-n^2

34=(a-n)(a+n)

a-n thuộc ước của 34 là { 1; 2; 17; 34} và a-n . Ta có bảng sau ( mik ko bt vẽ)

=>     a-n        1        2 

         a+n        34      17

        Mà tổng và hiệu 2 số nguyên cùng tính chẵn lẻ

      Vậy ....

Ta cóS = 14 +24 +34 +···+1004 không là số chính phương.

=>  S= (1004+14).100:2=50 900 ko là SCP

2: A=n^2+3n+2=(n+1)(n+2)

Để A là số nguyên tố thì n+1=1 hoặc n+2=2

=>n=0

Trong tập hợp số nguyên không có khái niệm hai số nguyên tố cùng nhau. Trong bài này phải nói trị tuyệt đối của chúng đôi một nguyên tố cùng nhau.

Không thể có \(\left|c\right|>1\) vì c có ít nhất một ước nguyên tố \(p\ge2\)

Do đó p phải là ước của a hoặc b. Vô lý vì (a;c) = ( b;c) = 1; từ đó suy ra \(c\in\left\{-1;1\right\}\)

*TH1 : \(c=-1\)

\(\Rightarrow-\left(a+b\right)=ab\)

\(\Rightarrow ab-\left[-\left(a+b\right)\right]=0\)

\(\Rightarrow ab+a+b+1=0+1\)

\(\Rightarrow\left(ab+a\right)+\left(b+1\right)=1\)

\(\Rightarrow a\left(b+1\right)+\left(b+1\right)=1\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=1\)

Do đó suy ra \(a+1=b+1=-1\) ( Chúng không thể bằng 1 vì nếu như vậy a=b=0 )

\(\Rightarrow a=b=-2\)

Do đó (a;b) = 2 \(\ne\)1 ( trái với giả thiết )

*TH2 : \(c=1\)

\(\Rightarrow a+b=ab\)

\(\Rightarrow ab-\left(a+b\right)+1=0+1=1\)

\(\Rightarrow ab-a-b+1=1\)

\(\Rightarrow\left(ab-a\right)-\left(b-1\right)=1\)

\(\Rightarrow a\left(b-1\right)-\left(b-1\right)=1\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=1\)

\(\Rightarrow a-1=b-1=1\) ( chúng không thể bằng -1 vì như vậy thì a = b = 0 )

\(\Rightarrow a=b=2\)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)=2\ne1\) (trái với giả thiết )

Do đó không tồn tại a, b, c thỏa mãn đề bài.