C = 5 + 5² + 5³ + ... + 5³⁰

= (5 + 5²) + (5³ + 5⁴) + ... + (5²⁹ + 5³⁰)

= 5.(1 + 5) + 5³.(1 + 5) + ... + 5²⁹.(1 + 5)

= 5.6 + 5³.6 + ... + 5²⁹.6

= 6.(5 + 5³ + ... + 5²⁹) ⋮ 6 (1)

Do C ⋮ 6 ⇒ C ⋮ 2 (2)

Lại có C = (5 + 5²) + (5³ + 5⁴) + ... + (5²⁹ + 5³⁰)

= 30 + 5².(5 + 5²) + ... + 5²⁸.(5 + 5²)

= 30 + 5².30 + ... + 5²⁸.30

= 30.(1 + 5² + ... + 5²⁸)

= 10.3.(1 + 5² + ... + 5²⁸) ⋮ 10 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra C ⋮ 2; C ⋮ 6; C ⋮ 10

\(1;a,942^{60}-351^{37}\)

\(=\left(942^4\right)^{15}-\left(....1\right)\)

\(=\left(....6\right)^{15}-\left(...1\right)\)

\(=\left(...6\right)-\left(...1\right)=\left(....5\right)⋮5\)

\(b,99^5-98^4+97^3-96^2\)

\(=\left(...9\right)-\left(...6\right)+\left(...3\right)-\left(...6\right)\)

\(=\left(...6\right)-\left(...6\right)=\left(...0\right)⋮2;5\)

\(2;5n-n=4n⋮4\)

chả hiểu j

Nhận xét : số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1

+, Nếu x và y đều ko chia hết cho 3 => x^2 và y^2 đều chia 3 dư 1

=> x^2+y^2 chia 3 dư 2 ( ko t/m )

+, Nếu trong 2 số có 1 số chia hết cho 3 , 1 số ko chia hết cho 3

=> x^2+y^2 chia 3 dư 1 ( ko t/m )

Vậy để x^2+y^2 chia hết cho 3 thì x và y đều chia hết cho 3

Tk mk nha

* m^2+n^2 chia hết cho 3 thì m,n chia hết cho 3

Giả sử m không chia hết cho 3 => m^2 o chia hết cho 3 mà m^2 chia 3 dư 0 hoặc 1 => m^2 chia 3 dư 1 => n^2 chia 3 dư 2 (vô lý)

=>giả sử sai => m chia hết cho 3 

                         Chứng minh tương tự n chia hết cho 3

* m,n chia hết cho 3 => m^2+n^2  chia hết cho 3 

Vì m,n chia hết cho 3 => m^2, n^2 chia hết cho 3 => m^2+n^2 chia hết cho 3

1)Ta có:\(2^{60}=\left(2^3\right)^{20}=8^{20}\)

\(3^{40}=\left(3^2\right)^{20}=9^{20}\)

Vì \(8^{20}< 9^{20}\Rightarrow2^{60}< 3^{40}\)

2)Gọi d là ƯCLN(n+3,2n+5)(d\(\in N\)*)

Ta có:\(n+3⋮d,2n+5⋮d\)

\(\Rightarrow2n+6⋮d,2n+5⋮d\)

\(\Rightarrow\left(2n+6\right)-\left(2n+5\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vì ƯCLN(n+3,2n+5)=1\(\RightarrowƯC\left(n+3,2n+5\right)=\left\{1,-1\right\}\)

3)\(A=5+5^2+5^3+5^4+...+5^{98}+5^{99}\)(có 99 số hạng)

\(A=\left(5+5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5+5^6\right)+...+\left(5^{97}+5^{98}+5^{99}\right)\)(có 33 nhóm)

\(A=5\left(1+5+5^2\right)+5^4\left(1+5+5^2\right)+...+5^{97}\left(1+5+5^2\right)\)

\(A=5\cdot31+5^4\cdot31+...+5^{97}\cdot31\)

\(A=31\left(5+5^4+...+5^{97}\right)⋮31\left(đpcm\right)\)

6)Đặt \(A=2^1+2^2+2^3+...+2^{100}\)

\(2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{101}\)

\(2A-A=\left(2^2+2^3+2^4+...+2^{101}\right)-\left(2^1+2^2+2^3+...+2^{100}\right)\)

\(A=2^{101}-2\)

\(\Rightarrow2^1+2^2+2^3+...+2^{100}-2^{101}=2^{101}-2-2^{101}=-2\)

7)Ta có:abcabc=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c=100100a+10010b+1001c

=11(9100a+910b+91c)\(⋮11\)

Vậy số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11(đpcm)

Vì p lak số nguyên tố và p> 3 nên p sẽ có dạng 3k+1 và 3k+2

TH1: Nếu p=3k+1 thì p+1 = p+ 2= 3k+1+2=3k+3 chai hêt cho 3

.........................................................................→ là hợp số ( loai)

Th2: Nếu p=3k+2 thì P+1 = 3k+2+1= 3k + 3 chia hết cho 3 ⁽¹⁾

Vì p là số nguyên tố và p > 3 nên p là số lẻ

→ p+1 là số chẵn → p+1 chia hết cho 2 ⁽²⁾

Mà (2;3)=1 nên p+1 chia hết cho ( 2.3) hay p+1 chia hết cho6

Số nguyên tố lớn hơn 3 sẽ có dạng 3k+1 hay 3k+2 ( k ϵ N)

Nếu p = 3k+1 thì p+2= 3k+1+2= 3k+3= 3.(k+1) là số nguyên tố. Vì 3.(k+1) chia hết cho 3 nên dạng p = 3k+1 không thoả mãn.

Vậy p có dạng p = 3k+2 ( Vì p+2= 3k+2+2= 3k+4 là một số nguyên tố)

Suy ra p+1= 3k+2+1= 3k+3= 3.(k+1) chia hết cho 3

Mặt khác, do p là số nguyên tố lớn hơn 3 cũng như lớn hơn 2 nên p là số nguyên tố lẻ suy ra p+1 là số chẵn suy ra p+1 là số chia hết cho 2

Vì p chia hết cho 2 và 3 mà UWCLN(2;3)=1 nên p+1 chia hết cho 6

Mong bạn tick cho mk nha!