a) Ta có:  \(\overrightarrow {BA}  = (2 - ( - 2);1 - 5) = (4; - 4)\) và \(\overrightarrow {BC}  = ( - 5 - ( - 2);2 - 5) = ( - 3; - 3)\)

b)

Ta có: \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 4.( - 3) + ( - 4).( - 3) = 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BA}  \bot \overrightarrow {BC} \) hay \(\widehat {ABC} = {90^o}\)

Vậy tam giác ABC vuông tại B.

Lại có: \(AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{4^2} + {{( - 4)}^2}}  = 4\sqrt 2 \); \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{( - 3)}^2}}  = 3\sqrt 2 \)

Và \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 5\sqrt 2 \) (do \(\Delta ABC\)vuông tại B).

Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.BC = \frac{1}{2}.4\sqrt 2 .3\sqrt 2  = 12\)

Chu vi tam giác ABC là: \(AB + BC + AC = 4\sqrt 2  + 3\sqrt 2  + 5\sqrt 2  = 12\sqrt 2 \)

c) Tọa độ của trọng tâm G là \(\left( {\frac{{2 + ( - 2) + ( - 5)}}{3};\frac{{1 + 5 + 2}}{3}} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{3};\frac{8}{3}} \right)\)

d) Giả sử điểm D thỏa mãn BCAD là một hình bình hành có tọa độ là (a; b).

Ta có: \(\overrightarrow {CB}  = ( 3; 3)\) và \(\overrightarrow {AD}  = (a - 2;b - 1)\)

Vì BCAD là một hình bình hành  nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {CB} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (a - 2;b - 1) = ( 3;3)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 =  3\\b - 1 =  3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  5 \\b = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy D có tọa độ (5; 4)

goi B(a; b) N( c; d)

\(N\in\left(CN\right)\Rightarrow\)c+8d-7 = 0(1)

N la trung diem AB\(\Rightarrow2c=1+a\left(2\right)\)

2d = -3 +b (3)

B\(\in\left(BM\right)\)\(\Rightarrow\)a+b -2 =0 (4)

tu (1) (2) (3) (4) \(\Rightarrow a=-5;b=7\Rightarrow B\left(-5;7\right)\)

dt (AE) qua vuong goc BM. \(\Rightarrow pt\)(AE):x-y-4 = 0

tọa độ H \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-4=0\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow H\left(3;-1\right)\);H là trung điểm AE

\(\Rightarrow E\left(5;1\right)\). ​vì ptdt (BE) cung la ptdt qua (BC):

3x+5y-20 =0

tọa độ C là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}3x+5y-20=0\\x+8y-7=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{139}{21}\\\dfrac{1}{21}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(\dfrac{139}{21};\dfrac{1}{21}\right)\)

1, Gọi tọa độ điểm D(x;y)

Ta có:\(\overrightarrow{AB}\left(8;1\right)\)

\(\overrightarrow{DC}\left(1-x;5-y\right)\)

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow1-x=8;5-y=1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-7\\y=4\end{matrix}\right.\)

Vậy tọa độ điểm D(-7;4)

\(D\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(5;-10\right)\\\overrightarrow{CD}=\left(x+20;y\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{x+20}{5}=\dfrac{y}{-10}\)

\(\Rightarrow y=-2x-40\) \(\Rightarrow D\left(x;-2x-40\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(-30;-5\right)\\\overrightarrow{BD}=\left(x-15;-2x-35\right)\end{matrix}\right.\)

\(AC=BD\Rightarrow30^2+5^2=\left(x-15\right)^2+\left(2x+35\right)^2\)

\(\Leftrightarrow5x^2+110x+525=0\Rightarrow x=...\Rightarrow D\left(...\right)\)

Đáp án là C

Bạn coi lại đề, 2 đường thẳng xuất phát từ B nhưng lại song song với nhau, điều này hoàn toàn vô lý