a) Đường thẳng d đi qua hai điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\) nên phương trình đường thẳng d là: \(\frac{{x + 1}}{{2 + 1}} = \frac{{y - 1}}{{3 - 1}} \Leftrightarrow 2x - 3y + 5 = 0\)

b) Phương trình đường tròn (C) có tâm \(I\left( {2;1} \right)\) và \(R = 2\) là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\)

c) Gọi \({d_1}\) là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm \(M\left( {2 + \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}}  = \overrightarrow {IM}  = \left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\). Vậy phương trình đường thẳng \({d_1}\) là:

\(\sqrt 2 \left( {x - 2 - \sqrt 2 } \right) + \sqrt 2 \left( {y - 1 - \sqrt 2 } \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 - 2\sqrt 2  = 0\) 

a) AD, A’D’, BC, B’C’, AA’, BB’, CC’, DD’

b) BD, B’D’, AA’, BB’, CC’, DD’

Hướng dẫn: 

Qua đường phân giác trong góc B lấy điểm B' đối xứng với A => B' thuộc BC  và tìm được tọa độ B' 

Qua đường phân giác trong góc C lấy điểm C' đối xứng với A => C' thuộc BC và tìm được tọa độ C' 

=> Phương trình BC đi qua B' và C' .

a) Các đường thẳng vuông góc với \(AC\) là: \(B{\rm{D}},B'D',AA',BB',CC',DD'\).

b) Các đường thẳng chéo với \(AC\) là: \(B'D',BB',DD'\).

Đường thẳng Δ song song với d ⇒ Δ: x + y + c = 0, (c ≠ 0)

Vì Δ đi qua A ⇒ 3 + 0 + c = 0 ⇒ c = -3(tm)

Vậy đường thẳng Δ có dạng: x+y-3=0

Vì đường tròn có tâm I thuộc d nên I(a;-a)

Vì đường tròn đi qua A, B nên I A 2  = I B 2  ⇒ (3 - a ) 2  + a 2  = a 2  + (2 + a ) 2  ⇔ (3 - a ) 2  = (2 + a ) 2

Vậy phương trình đường tròn có dạng:

Ta có: 

Giả sử elip (E) có dạng:

Vì (E) đi qua B nên:

Mà

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:

Gọi D là giao điểm của hai đường phân giác trong góc B và góc C

+) Trên BC lấy điểm M sao cho: AM vuông BD tại H 

=> Đường thẳng AM \(\perp\)BH => AM có dạng: 2x + y + a = 0 

mà A ( 2; -1) \(\in\)AM => 2.2 + ( -1) + a = 0 <=> a = -3

=> phương trình đt: AM : 2x + y - 3 = 0 

H là giao của AM và BD => Tọa độ điểm H là nghiệm hệ: \(\hept{\begin{cases}x-2y+1=0\\2x+y-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)=> H ( 1; 1) 

Lại có: BH vừa là đường cao vừa là đường phân giác \(\Delta\)ABM => \(\Delta\)ABM cân =>  H là trung điểm AM 

=> \(\hept{\begin{cases}x_M=2x_H-x_A=2.1-2=0\\y_M=2y_H-y_B=2.1-\left(-1\right)=3\end{cases}}\)=> M ( 0; 3 ) 

+) Trên BC lấy lấy điêm N sao cho AN vuông CD tại K 

Làm tương tự như trên ta có: 

AN có dạng: x - y + b = 0 mà A thuộc AN => 2 + 1 + b = 0 => b = - 3 

K là giao điểm của AN và CD => K ( 0; -3 ) 

K là trung điểm AN => N ( -2; -5 )

=> Đường thẳng BC qua điểm M  và N 

\(\overrightarrow{MN}\left(-2;-8\right)\)=> VTPT của BC là: \(\overrightarrow{n}\left(8;-2\right)\)

=> Phương trình BC : \(8\left(x-0\right)+\left(-2\right)\left(y-3\right)=0\)

<=> 4x -y + 3 = 0 

Vậy: BC : 4x - y + 3 = 0