a: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt AD tại E

=>EC là tiếp tuyến tại C của đường tròn

=>EC\(\perp\)OC tại C

Xét tứ giác EAOC có

\(\widehat{EAO}+\widehat{ECO}=90^0+90^0=180^0\)

nên EAOC là tứ giác nội tiếp

=>E,A,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC\(\perp\)CB tại C

=>AC\(\perp\)DB tại C

Xét ΔDAB vuông tại A có AC là đường cao

nên \(BC\cdot BD=BA^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)

Xét (O) có

EA,EC là tiếp tuyến

Do đó: EA=EC
=>E nằm trên đường trung trực của AC(1)

OA=OC

=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OE là đường trung trực của AC

=>OE\(\perp\)AC

Ta có: OE\(\perp\)AC

AC\(\perp\)BD

Do đó: OE//BD

c: ΔOBC cân tại O

mà OF là đường cao

nên OF là phân giác của góc BOC

OC\(\perp\)CE tại C

mà C\(\in\)EF

nên OC\(\perp\)CF tại C

Xét ΔOCF và ΔOBF có

OC=OB

\(\widehat{COF}=\widehat{BOF}\)

OF chung

Do đó: ΔOCF=ΔOBF

=>\(\widehat{OCF}=\widehat{OBF}=90^0\)

=>BF là tiếp tuyến của (O;R)

Xét (O) có

EA,EC là các tiếp tuyến

Do đó: EA=EC

=>E nằm trên đường trung trực của AC(1)

Ta có: OA=OC

=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OE là đường trung trực của AC

=>OE\(\perp\)AC tại M

Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét tứ giác CMON có \(\widehat{CMO}=\widehat{CNO}=\widehat{MCN}=90^0\)

nên CMON là hình chữ nhật

=>C,M,O,N cùng thuộc đường tròn đường kính CO(1)

Ta có: ΔCHO vuông tại H

=>H nằm trên đường tròn đường kính CO(2)

Từ (1),(2) suy ra C,M,O,N,H cùng nằm trên đường tròn đường kính CO

mà O cố định

nên đường tròn ngoại tiếp ΔHMN luôn đi qua điểm O cố định

a: Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại C

Xét ΔCHA vuông tại H có \(sinA=\dfrac{CH}{CA}\)

=>\(CH=CA\cdot sinA\)

Xét ΔCHB vuông tại H có \(sinB=\dfrac{CH}{CB}\)

=>\(CH=CB\cdot sinB\)

=>\(CH=CB\cdot cosA\)

\(CA\cdot CB\cdot sinA\cdot cosA\)

\(=CH\cdot CH=CH^2\)

b: ΔACD vuông tại C

mà CI là đường trung tuyến

nên IA=IC=ID

Xét ΔIAO và ΔICO có

IA=IC

AO=CO

IO chung

Do đó: ΔIAO=ΔICO

=>\(\widehat{ICO}=\widehat{IAO}=90^0\)

=>IC là tiếp tuyến của (O)

c: ΔIAO=ΔICO

=>\(\widehat{AOI}=\widehat{COI}\)

=>\(\widehat{AOC}=2\cdot\widehat{IOC}\)

Xét (O) có

KB,KC là tiếp tuyến

Do đó: KB=KC và OK là phân giác của góc COB

=>\(\widehat{COB}=2\cdot\widehat{COK}\)

\(\widehat{AOC}+\widehat{COB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\widehat{IOC}+2\cdot\widehat{COK}=180^0\)

=>\(\widehat{IOC}+\widehat{COK}=90^0\)

=>\(\widehat{IOK}=90^0\)

Xét ΔIOK vuông tại O có OC là đường cao

nên \(CI\cdot CK=OC^2\)

=>\(AI\cdot BK=R^2\)

a: Xét (O) có

MA,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MC

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC\(\perp\)CB tại C

=>AC\(\perp\)BD tại C

=>ΔACD vuông tại C

Ta có: \(\widehat{MDC}+\widehat{MAC}=90^0\)(ΔACD vuông tại C)

\(\widehat{MCD}+\widehat{MCA}=\widehat{DCA}=90^0\)

mà \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)

nên \(\widehat{MDC}=\widehat{MCD}\)

=>MC=MD

mà MC=MA

nên MA=MD

=>M là trung điểm của AD

b: Xét (O) có

MC,MA là các tiếp tuyến

Do đó: OM là phân giác của góc AOC

=>\(\widehat{AOC}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Ta có: tia OC nằm giữa hai tia OM và ON

=>\(\widehat{MOC}+\widehat{NOC}=\widehat{MON}=90^0\)

=>\(\widehat{NOC}=90^0-\widehat{MOC}\)

Ta có: \(\widehat{COA}+\widehat{COB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\widehat{COM}+\widehat{COB}=2\cdot90^0=2\cdot\widehat{COM}+2\cdot\widehat{CON}\)

=>\(\widehat{COB}=2\cdot\widehat{CON}\)

=>ON là phân giác của góc COB

Xét ΔOBN và ΔOCN có

OB=OC

\(\widehat{BON}=\widehat{CON}\)

ON chung

Do đó: ΔOBN=ΔOCN

=>\(\widehat{OBN}=\widehat{OCN}=90^0\)

=>NB là tiếp tuyến của (O)